对矩阵B乘以B的逆的列做施密特正交化

设矩阵B为 $m\times n$ 的矩阵，$B^{-1}$ 为其逆矩阵，$\{b_1,b_2,\cdots,b_n\}$ 为 $B$ 的列向量组，$\{v_1,v_2,\cdots,v_n\}$ 为施密特正交化后的向量组。

首先，由于 $BB^{-1}=I$，即矩阵 $B$ 与 $B^{-1}$ 互为逆矩阵，因此有：

$$B^{-1}B=I$$

即矩阵 $B^{-1}$ 的列向量组 $\{b_1^{-1},b_2^{-1},\cdots,b_n^{-1}\}$ 是矩阵 $B$ 的行向量组的施密特正交化向量组。

然后，对 $\{b_1^{-1},b_2^{-1},\cdots,b_n^{-1}\}$ 进行施密特正交化，得到向量组 $\{v_1,v_2,\cdots,v_n\}$，具体步骤如下：

1. 令 $v_1=b_1^{-1}$。

2. 对于 $i=2,3,\cdots,n$，令

$$\begin{aligned} &u_i=b_i^{-1}-\sum_{j=1}^{i-1}\frac{\langle b_i^{-1},v_j\rangle}{\|v_j\|^2}v_j \\ &v_i=\frac{u_i}{\|u_i\|} \end{aligned}$$

其中，$\langle b_i^{-1},v_j\rangle$ 表示向量 $b_i^{-1}$ 与向量 $v_j$ 的内积。

最终，得到向量组 $\{v_1,v_2,\cdots,v_n\}$ 即为矩阵 $B^{-1}$ 的列向量组的施密特正交化向量组。

相关问题

对矩阵B乘以B的逆的列做施密特正交化 代码

假设矩阵B为n行m列的矩阵，其中m<=n，且B的列线性无关，则矩阵B的逆矩阵B_inv存在且唯一。

下面是对矩阵B乘以B的逆的列做施密特正交化的Python代码实现：

import numpy as np

def gram_schmidt(B):
    # 对矩阵B的列做施密特正交化
    Q = np.zeros(B.shape)
    Q[:, 0] = B[:, 0] / np.linalg.norm(B[:, 0])
    for j in range(1, B.shape[1]):
        v = B[:, j]
        for i in range(j):
            # 计算投影向量
            u = Q[:, i]
            proj = np.dot(v, u) * u
            v = v - proj
        # 归一化向量
        Q[:, j] = v / np.linalg.norm(v)
    return Q

# 生成一个随机矩阵B
n = 5
m = 3
B = np.random.rand(n, m)

# 计算矩阵B乘以B的逆
B_inv = np.linalg.inv(np.dot(B, B.T))
B_BB_inv = np.dot(B, B_inv)

# 对B_BB_inv的列做施密特正交化
Q = gram_schmidt(B_BB_inv)

# 打印结果
print("矩阵B乘以B的逆的列做施密特正交化结果：")
print(Q)

注：以上代码中的矩阵B乘以B的逆是对称正定矩阵，其列向量线性无关，因此可对其做施密特正交化。

四个向量进行施密特正交化，然后乘一个矩阵，将新的到的向量重新施密特正交化

要对四个向量进行施密特正交化，可以使用Matlab内置的`orth`函数。下面是一个示例代码：

% 原始向量
v1 = [1; 2; 3; 4];
v2 = [5; 6; 7; 8];
v3 = [9; 10; 11; 12];
v4 = [13; 14; 15; 16];

% 施密特正交化
V = [v1, v2, v3, v4];
orthogonalizedV = orth(V);

% 输出正交化后的向量
orthogonalizedV

在上述代码中，我们首先将原始向量`v1`、`v2`、`v3`和`v4`组成一个矩阵`V`，然后通过`orth`函数对`V`进行施密特正交化，得到正交化后的向量矩阵`orthogonalizedV`。最后，我们输出了正交化后的向量。

然后，我们将得到的正交化后的向量乘以一个矩阵，再次进行施密特正交化。示例代码如下：

% 原始矩阵
M = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9; 10 11 12];

% 矩阵与向量进行乘法
result = M * orthogonalizedV;

% 新的施密特正交化
orthogonalizedResult = orth(result);

% 输出新的正交化后的向量
orthogonalizedResult

在上述代码中，我们定义了一个原始矩阵`M`，然后将正交化后的向量矩阵`orthogonalizedV`与`M`进行乘法运算得到结果矩阵`result`。最后，我们对`result`进行施密特正交化，得到新的正交化后的向量矩阵`orthogonalizedResult`。