使用MH抽样方法从Rayleigh 分布中抽样,Rayleigh分布的密度函数为:f(x) = x/σ^2 e^-x^2/(2σ^2),x ≥ 0, σ > 0.建议分布取自由度为Xt的χ^2分布。解题并用R语言写出相关代码,绘制出图像。
时间: 2024-01-05 14:33:35 浏览: 52
为了从Rayleigh分布中抽样,可以使用MH(Metropolis-Hastings)抽样方法。步骤如下:
1. 定义一个提议分布Q(x),这里建议使用自由度为Xt的χ^2分布。χ^2分布的概率密度函数为 f(x) = (1/2)^(t/2) * x^(t/2-1) * e^(-x/2) / Γ(t/2),其中t为自由度,Γ为gamma函数。
2. 初始化采样值x0,并设置抽样次数n。
3. 对于每个i从1到n,执行以下步骤:
a. 从提议分布Q(x)中抽样得到候选值x_cand。
b. 计算接受率alpha = min(1, f(x_cand)/f(x_i-1)),其中f(x_i-1)为Rayleigh分布的密度函数值。
c. 生成一个[0,1]之间的随机数u。
d. 如果u小于等于alpha,则接受候选值,将x_cand赋值给x_i;否则,拒绝候选值,将x_i-1赋值给x_i。
4. 返回抽样得到的x值序列。
以下是使用R语言实现上述步骤的代码:
```R
library(stats)
# 定义Rayleigh分布的概率密度函数
rayleigh_pdf <- function(x, sigma) {
return((x / sigma^2) * exp(-x^2 / (2 * sigma^2)))
}
# 定义提议分布Q(x)的概率密度函数
chi2_pdf <- function(x, df) {
return((1/2)^(df/2) * x^(df/2-1) * exp(-x/2) / gamma(df/2))
}
# MH抽样函数
mh_sampling <- function(sigma, df, n) {
x <- numeric(n)
x[1] <- 0 # 初始化采样值
for (i in 2:n) {
# 从提议分布Q(x)中抽样得到候选值
x_cand <- rchisq(1, df)
# 计算接受率
alpha <- min(1, rayleigh_pdf(x_cand, sigma) / rayleigh_pdf(x[i-1], sigma))
# 生成一个[0,1]之间的随机数
u <- runif(1)
# 判断是否接受候选值
if (u <= alpha) {
x[i] <- x_cand
} else {
x[i] <- x[i-1]
}
}
return(x)
}
# 设置参数
sigma <- 1 # Rayleigh分布的参数
df <- 2 # χ^2分布的自由度
n <- 1000 # 抽样次数
# 执行MH抽样
x_samples <- mh_sampling(sigma, df, n)
# 绘制图像
hist(x_samples, freq = FALSE, breaks = "FD", xlim = c(0, max(x_samples)), main = "MH Sampling from Rayleigh Distribution")
curve(rayleigh_pdf(x, sigma), from = 0, to = max(x_samples), add = TRUE, col = "red", lwd = 2)
```
上述代码中,我们定义了Rayleigh分布的概率密度函数和提议分布χ^2的概率密度函数。然后使用MH抽样方法进行抽样,并绘制了抽样结果的直方图,并在图中添加了真实的Rayleigh分布曲线。
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