如何用matlab求一个矩阵的正交补

假设有一个矩阵 A，它的列空间是一个子空间 S，我们需要求出 S 的正交补 S⊥。

步骤如下：

1. 求出 A 的左零空间，即 A'x=0 的所有向量构成的子空间，记作 N(A')。

2. 根据维数公式 dim(S) + dim(N(A')) = n，其中 n 是 A 的列数，求出 N(A') 的维数 dim(N(A'))。

3. 构造 N(A') 的一组基底 {v1, v2, ..., vk}。

4. 将这些基底扩充为整个空间 R^n 的一组基底 {v1, v2, ..., vk, u1, u2, ..., um}。

5. S⊥ 的一组基底就是 {u1, u2, ..., um}。

下面是一个 Matlab 代码示例：

% 假设 A 是一个 3x4 的矩阵
A = rand(3, 4);

% 求出 A 的左零空间
N = null(A');

% 求出 N 的一组基底
[V, ~] = qr(N);

% 构造 R^4 的一组基底
B = [V, eye(size(A, 2))];

% 求出 S⊥ 的一组基底
[~, R] = qr(B);
U = R(:, size(V, 2) + 1:end);

% 输出 S⊥ 的一组基底
disp(U);

注意，上述代码中的 null 函数用于求解 A'x=0 的解空间，qr 函数用于进行 QR 分解。

相关问题

matlab求一个矩阵的正交补矩阵

假设有一个 $m$ 行 $n$ 列的矩阵 $A$，它的列向量组成了一个子空间 $S$。则 $S$ 的正交补空间 $S^\perp$ 是所有与 $S$ 中向量垂直的向量的集合，也就是说，$S^\perp$ 中的向量与 $S$ 中的所有向量的内积都为零。那么 $S^\perp$ 的一组基就是 $A$ 的零空间的一组基，可以通过求解 $Ax=0$ 的基础解系得到。

具体实现可以使用 MATLAB 的 null 函数，它可以计算矩阵的零空间的一组基。代码如下：

A = % 输入矩阵
B = null(A); % 计算矩阵的零空间的一组基

其中，A 是输入的矩阵，B 是它的正交补矩阵，是一个 $n$ 行 $k$ 列的矩阵，其中 $k = n - \operatorname{rank}(A)$。

matlab求一个矩阵的正交补

假设有一个矩阵A，其列向量组成的空间为S，则矩阵A的正交补空间S的定义如下：

S^⊥ = {x | x∈R^n, x·a=0, ∀a∈S}

其中，"·"表示向量的点积运算，"∈"表示属于的关系，"∀"表示对于任意的。

在MATLAB中，我们可以通过以下步骤求解一个矩阵A的正交补：

1. 计算矩阵A的列空间S，可以使用MATLAB中的null(A,'r')函数，其中'r'表示计算行空间。

2. 构造一个与列空间S正交的矩阵B，可以使用MATLAB中的null(A')函数，其中A'表示矩阵A的转置。

3. 矩阵B即为矩阵A的正交补空间S^⊥。

下面是MATLAB代码示例：

A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];
S = null(A,'r'); % 计算矩阵A的列空间
B = null(A'); % 构造与列空间S正交的矩阵B，即为矩阵A的正交补空间

其中，矩阵B的列向量组成的空间即为矩阵A的正交补空间S^⊥。