如何用matlab求一个矩阵的正交补

假设有一个矩阵 A，它的列空间是一个子空间 S，我们需要求出 S 的正交补 S⊥。

步骤如下：

1. 求出 A 的左零空间，即 A'x=0 的所有向量构成的子空间，记作 N(A')。

2. 根据维数公式 dim(S) + dim(N(A')) = n，其中 n 是 A 的列数，求出 N(A') 的维数 dim(N(A'))。

3. 构造 N(A') 的一组基底 {v1, v2, ..., vk}。

4. 将这些基底扩充为整个空间 R^n 的一组基底 {v1, v2, ..., vk, u1, u2, ..., um}。

5. S⊥ 的一组基底就是 {u1, u2, ..., um}。

下面是一个 Matlab 代码示例：

% 假设 A 是一个 3x4 的矩阵
A = rand(3, 4);

% 求出 A 的左零空间
N = null(A');

% 求出 N 的一组基底
[V, ~] = qr(N);

% 构造 R^4 的一组基底
B = [V, eye(size(A, 2))];

% 求出 S⊥ 的一组基底
[~, R] = qr(B);
U = R(:, size(V, 2) + 1:end);

% 输出 S⊥ 的一组基底
disp(U);

注意，上述代码中的 null 函数用于求解 A'x=0 的解空间，qr 函数用于进行 QR 分解。