用解线性方程组的方法求解4次多项式插值函数的全部系数matlab代码

假设已知4个点的坐标为$(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3),(x_4,y_4)$，需要求解4次多项式插值函数的系数。可以列出以下方程组：

$$
\begin{cases}
a_1 x_1^4 + a_2 x_1^3 + a_3 x_1^2 + a_4 x_1 + a_5 = y_1 \\
a_1 x_2^4 + a_2 x_2^3 + a_3 x_2^2 + a_4 x_2 + a_5 = y_2 \\
a_1 x_3^4 + a_2 x_3^3 + a_3 x_3^2 + a_4 x_3 + a_5 = y_3 \\
a_1 x_4^4 + a_2 x_4^3 + a_3 x_4^2 + a_4 x_4 + a_5 = y_4 \\
4a_1 x_1^3 + 3a_2 x_1^2 + 2a_3 x_1 + a_4 = 0 \\
4a_1 x_2^3 + 3a_2 x_2^2 + 2a_3 x_2 + a_4 = 0 \\
4a_1 x_3^3 + 3a_2 x_3^2 + 2a_3 x_3 + a_4 = 0 \\
4a_1 x_4^3 + 3a_2 x_4^2 + 2a_3 x_4 + a_4 = 0 \\
12a_1 x_1^2 + 6a_2 x_1 + 2a_3 = 0 \\
12a_1 x_2^2 + 6a_2 x_2 + 2a_3 = 0 \\
12a_1 x_3^2 + 6a_2 x_3 + 2a_3 = 0 \\
12a_1 x_4^2 + 6a_2 x_4 + 2a_3 = 0 \\
24a_1 x_1 + 6a_2 = 0 \\
24a_1 x_2 + 6a_2 = 0 \\
24a_1 x_3 + 6a_2 = 0 \\
24a_1 x_4 + 6a_2 = 0 \\
24a_1 = 0
\end{cases}
$$

可以使用MATLAB中的“\”运算符求解该线性方程组，代码如下：

function [a1,a2,a3,a4,a5] = polynomial_interpolation(x,y)
% x为已知点的x坐标值，y为已知点的y坐标值
% 返回值为多项式插值函数的系数

n = length(x);

A = zeros(5*n,5*n);
b = zeros(5*n,1);

for i = 1:n
    % 填充第i行的系数
    A(i,1) = x(i)^4;
    A(i,2) = x(i)^3;
    A(i,3) = x(i)^2;
    A(i,4) = x(i);
    A(i,5) = 1;
    % 填充第i行的常数项
    b(i) = y(i);
    % 填充第n+i行的系数
    A(n+i,1) = 4*x(i)^3;
    A(n+i,2) = 3*x(i)^2;
    A(n+i,3) = 2*x(i);
    A(n+i,4) = 1;
    % 填充第n+i+1行到第2n-2+i行的系数
    for j = 2:n-1
        A((j-1)*n+i,j*5-3:j*5-1) = [12*x(i)^(n-j),6*x(i)^(n-j),2];
    end
    % 填充倒数第二行的系数
    A(2*n-1+i,(n-1)*5+1:(n-1)*5+2) = [24*x(i),6];
    % 填充最后一行的系数
    A(3*n,i*5-4) = 24;
end

% 解线性方程组
x = A\b;

% 返回多项式插值函数的系数
a1 = x(1);
a2 = x(2);
a3 = x(3);
a4 = x(4);
a5 = x(5);
end

使用该函数，可以计算出多项式插值函数的系数。