五点差分格式求poisson

差分方法是求解Poisson方程的常用值方法之一。五点差分格式是其中一种常见的差分方法。

对于二维Poisson方程，可以将其离散化为差分方程。假设在一个矩形区域内，Poisson方程为：

∇²u(x, y) = f(x, y)

其中，u(x, y) 是待求解的函数，f(x, y) 是已知的函数。

五点差分格式基于二阶中心差分，使用网格上的五个点（包括中心点和四个相邻点）来近似表示二维Poisson方程。

假设网格上的点为 (i, j)，其中 i 表示横向的索引，j 表示纵向的索引。差分格式可以表示为：

(u(i+1,j) - 2u(i,j) + u(i-1,j))/Δx² + (u(i,j+1) - 2u(i,j) + u(i,j-1))/Δy² = f(i,j)

其中，Δx 和 Δy 分别表示横向和纵向的网格间距。

通过对每个内部网格点应用上述差分格式，可以建立一个线性方程组。该方程组可以使用迭代方法（如Jacobi或Gauss-Seidel）求解，最终得到整个区域内的数值解 u(i,j)。