ISOMAP降维详细公式
时间: 2023-12-17 14:49:02 浏览: 30
ISOMAP是一种基于流形学习的降维方法,它可以将高维数据映射到低维空间中。其详细公式如下:
1. 计算数据点之间的欧氏距离矩阵D,即对于数据集X中的每一对数据点(x_i,x_j),计算它们之间的欧氏距离d_ij。
2. 对距离矩阵D进行加权处理,得到带权邻接矩阵W。ISOMAP通常使用“k近邻法”来确定邻接关系,即对于每个数据点x_i,选择与其距离最近的k个数据点,并将它们与x_i之间的距离作为权值,构成带权邻接矩阵W。
3. 基于带权邻接矩阵W计算数据点之间的最短路径距离矩阵D’。这一步通常使用Floyd算法或Dijkstra算法来实现。
4. 对距离矩阵D’进行多维缩放(MDS)降维,得到低维嵌入空间Y。MDS的目标是将高维距离矩阵D’转化为低维距离矩阵B,使得B能够最好地保留原始数据点之间的距离关系。具体来说,MDS将D’的特征值分解为λ_i和特征向量v_i,然后将前k个最大的特征值对应的特征向量作为新的低维空间中的坐标轴,将所有数据点映射到这个低维空间中。
5. 最后,得到降维后的数据集Y。
相关问题
isomap降维算法matlab
以下是使用MATLAB实现ISOMAP降维算法的示例代码:
1. 导入数据
首先,我们需要导入需要降维的数据。这里我们使用MATLAB自带的鸢尾花数据集。
load fisheriris
2. 计算距离矩阵
接下来,我们需要计算原始数据的距离矩阵。这里我们使用欧几里得距离。
D = pdist(meas);
3. 执行ISOMAP算法
现在,我们可以执行ISOMAP算法了。这里我们使用MATLAB的函数isomap。
Y = isomap(D, 2);
这里的参数2表示我们想要将数据降至2维。
4. 可视化降维结果
最后,我们可以将降维后的结果可视化。
scatter(Y(:,1), Y(:,2), 15, species, 'filled');
xlabel('Component 1');
ylabel('Component 2');
title('ISOMAP Embedding');
这里的scatter函数用于绘制散点图。Y(:,1)和Y(:,2)分别表示降维后的第一维和第二维。第三个参数表示散点的大小,第四个参数表示不同类别的散点使用不同的颜色填充。最后两行代码用于添加坐标轴标签和标题。
完整代码如下:
load fisheriris
D = pdist(meas);
Y = isomap(D, 2);
scatter(Y(:,1), Y(:,2), 15, species, 'filled');
xlabel('Component 1');
ylabel('Component 2');
title('ISOMAP Embedding');
isomap数据降维matlab代码
Sure! Here is an example of Isomap dimensionality reduction implemented in MATLAB:
```matlab
% Load your data matrix here
data = load('your_data.mat');
% Determine the number of nearest neighbors
k = 10;
% Compute pairwise distances using Euclidean distance
distances = pdist2(data, data);
% Find the k-nearest neighbors for each point
[~, nearest_neighbors] = sort(distances, 2);
nearest_neighbors = nearest_neighbors(:, 2:k+1);
% Create the neighborhood graph
graph = zeros(size(data, 1));
for i = 1:size(data, 1)
for j = nearest_neighbors(i, :)
graph(i, j) = distances(i, j);
end
end
% Apply Floyd-Warshall algorithm to find the shortest path distances
shortest_distances = graph;
for k = 1:size(data, 1)
for i = 1:size(data, 1)
for j = 1:size(data, 1)
if shortest_distances(i, k) + shortest_distances(k, j) < shortest_distances(i, j)
shortest_distances(i, j) = shortest_distances(i, k) + shortest_distances(k, j);
end
end
end
end
% Compute the Gram matrix
squared_distances = shortest_distances.^2;
gram_matrix = -0.5 * (squared_distances - ...
sum(squared_distances, 1)/size(data, 1) - ...
sum(squared_distances, 2)/size(data, 1) + ...
sum(squared_distances(:))/(size(data, 1)^2));
% Perform singular value decomposition
[V, D] = eig(gram_matrix);
[~, sorted_indices] = sort(diag(D), 'descend');
D_sorted = D(sorted_indices, sorted_indices);
V_sorted = V(:, sorted_indices);
% Choose the number of dimensions for the reduced space
num_dimensions = 2;
% Compute the final lower-dimensional representation
reduced_data = V_sorted(:, 1:num_dimensions) * sqrt(D_sorted(1:num_dimensions, 1:num_dimensions));
% Plot the reduced data
scatter(reduced_data(:, 1), reduced_data(:, 2));
title('Isomap Dimensionality Reduction');
xlabel('Dimension 1');
ylabel('Dimension 2');
```
Make sure to replace `'your_data.mat'` with the path to your actual data file. Also, feel free to adjust the parameters such as the number of nearest neighbors (`k`) and the number of dimensions in the reduced space (`num_dimensions`) according to your needs.