ISOMAP降维详细公式

ISOMAP是一种基于流形学习的降维方法，它可以将高维数据映射到低维空间中。其详细公式如下：

1. 计算数据点之间的欧氏距离矩阵D，即对于数据集X中的每一对数据点(x_i,x_j)，计算它们之间的欧氏距离d_ij。

2. 对距离矩阵D进行加权处理，得到带权邻接矩阵W。ISOMAP通常使用“k近邻法”来确定邻接关系，即对于每个数据点x_i，选择与其距离最近的k个数据点，并将它们与x_i之间的距离作为权值，构成带权邻接矩阵W。

3. 基于带权邻接矩阵W计算数据点之间的最短路径距离矩阵D’。这一步通常使用Floyd算法或Dijkstra算法来实现。

4. 对距离矩阵D’进行多维缩放（MDS）降维，得到低维嵌入空间Y。MDS的目标是将高维距离矩阵D’转化为低维距离矩阵B，使得B能够最好地保留原始数据点之间的距离关系。具体来说，MDS将D’的特征值分解为λ_i和特征向量v_i，然后将前k个最大的特征值对应的特征向量作为新的低维空间中的坐标轴，将所有数据点映射到这个低维空间中。

5. 最后，得到降维后的数据集Y。