算四次以下的不可约多项式求出本源多项式

一个不可约多项式 $f(x)$ 在一个有限域 $\mathbb{F}_q$ 上是本源多项式，当且仅当它的阶数是 $\mathbb{F}_q$ 的原根的最小幂次。

为了求出本源多项式，我们需要先找到这个有限域 $\mathbb{F}_q$ 的原根。一个有限域 $\mathbb{F}_q$ 上的原根是一个元素 $g$，使得 $g^k \neq 1$ 对于 $0 \leq k < q-1$ 都成立，但是 $g^{q-1} = 1$。因此，我们可以枚举 $\mathbb{F}_q$ 的每一个元素 $a$，并计算 $a^i$ 的值，直到找到一个 $i$ 满足 $a^i$ 是 $\mathbb{F}_q$ 的原根。

一旦我们找到了原根 $g$，我们可以通过以下方法来生成 $\mathbb{F}_q$ 上的所有本源多项式：

1. 令 $f(x) = x$；
2. 对于 $i$ 从 $1$ 到 $q-2$，按以下方式计算 $f_i(x)$：
1. 计算 $f_{i-1}(x+1)$；
2. 用 $f_{i-1}(g x)$ 减去 $f_{i-1}(x)$；
3. 将结果模 $f_{i-1}(x)$，得到 $f_i(x)$；
3. 对于 $i$ 从 $1$ 到 $q-2$，如果 $f_i(x)$ 是不可约的，则它是 $\mathbb{F}_q$ 上的一个本源多项式。

注意，这个方法只能用来生成 $\mathbb{F}_q$ 上的本源多项式，而不能用来生成其他有限域上的本源多项式。

相关问题

第四次以下的不可约多项式求出本源多项式

对于次数小于四的多项式，我们可以通过手工计算来求出其本源多项式。例如，对于次数为二的多项式 $f(x)=ax^2+bx+c$，如果其本源多项式为 $g(x)$，则有：

$$g(x) = \frac{f(x)f(-x)}{a} = \frac{(ax^2+bx+c)(a(-x)^2-bx+c)}{a} = x^4+2c-a^2-b^2x^2$$

对于次数为三的多项式 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$，如果其本源多项式为 $g(x)$，则有：

$$g(x) = \frac{f(x)f(-x)}{a} = \frac{(ax^3+bx^2+cx+d)(a(-x)^3-bx^2+cx-d)}{a} = x^6+2bx^4+(b^2+2ac-4a^2)x^2+(2a^2d-b^3-4abc)$$

对于次数为四的多项式 $f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$，如果其本源多项式为 $g(x)$，则有：

$$g(x) = \frac{f(x)f(-x)}{a} = \frac{(ax^4+bx^3+cx^2+dx+e)(a(-x)^4-bx^3+cx^2-dx+e)}{a}$$

$$= x^8+2ex^6+(2ac+2bd-6a^2)x^4+(2ae+2cd-2ab^2-6a^3-4b^2)x^2+(b^4-4ab^2c+4a^2c^2-4a^3d-4bc^2+16a^2e)$$

对于次数大于四的多项式，我们可以使用计算机算法来求出其本源多项式。常用的算法包括NTT算法、Zassenhaus算法、Cantor-Zassenhaus算法等。

有限域F2S上所有5次不可约多项式

在有限域F2上，所有5次不可约多项式如下：

1. x^5 + x^2 + 1
2. x^5 + x^3 + 1
3. x^5 + x^3 + x^2 + x + 1
4. x^5 + x^4 + x^2 + x + 1
5. x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + 1
6. x^5 + x^4 + x^3 + x + 1
7. x^5 + x^4 + x^3 + 1
8. x^5 + x^4 + x^2 + 1
9. x^5 + x^4 + x^2 + x + 1
10. x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1

注意：这个列表可能不是完整的，因为新的5次不可约多项式可能会被发现。