求有向简单图中总权值最大的环的算法设计

这个问题可以使用动态规划算法来解决，具体步骤如下：

1. 定义状态：设 $f(i, j)$ 表示以节点 $i$ 结尾，长度为 $j$ 的环中的最大权值和。

2. 状态转移：对于节点 $i$ 的所有入边 $(u, i)$，枚举环的上一个节点 $k$，则 $f(i, j) = \max\{f(k, j-1) + w(u, i)\}$，其中 $w(u, i)$ 表示边 $(u, i)$ 的权值。

3. 边界条件：$f(i, 1) = 0$，即长度为 $1$ 的环的权值和为 $0$。

4. 最终结果：$\max\{f(i, n)\}$，其中 $n$ 是图的节点数，表示最大长度为 $n$ 的环的权值和。

时间复杂度为 $O(n^3)$，其中 $n$ 是节点数。具体实现时可以使用优化，如记忆化搜索或者矩阵快速幂等方法，来降低时间复杂度。

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求有向简单图中总权值最大的环的

解法：

我们可以使用 Floyd 算法求解有向图中所有点对之间的最短路径长度，然后再对每条边进行松弛操作，求出每个点到自己的最短路径长度，这样我们就可以得到所有环的权值。

具体来说，我们可以使用一个数组 $dp$，其中 $dp_i$ 表示以节点 $i$ 结尾的所有环中的最大权值。我们可以按照拓扑排序的顺序依次计算每个节点的 $dp$ 值。对于每个节点 $i$，我们枚举它所有的入边 $(j,i)$，并更新 $dp_i$：

$$
dp_i=\max\{dp_i,dp_j+w_{j,i}\}
$$

其中 $w_{j,i}$ 表示边 $(j,i)$ 的权值。由于有向图中可能存在环，因此我们需要使用记忆化搜索或者拓扑排序的方式进行计算。

最终，所有节点的 $dp$ 值中的最大值就是有向图中总权值最大的环的权值。

时间复杂度为 $O(n^3)$，其中 $n$ 为节点数。

求有向简单图中总权值最大的环的代码

以下是使用记忆化搜索实现的代码，时间复杂度为 $O(n^2)$。

import sys
from typing import List, Tuple

def dfs(i: int, j: int, graph: List[List[Tuple[int, int]]], memo: List[List[int]]) -> int:
    if j == 1:
        return 0
    if memo[i][j] != -sys.maxsize:
        return memo[i][j]
    res = -sys.maxsize
    for u, w in graph[i]:
        for k in range(1, j):
            res = max(res, dfs(u, k, graph, memo) + w + (j == k+1) * w)
    memo[i][j] = res
    return res

def max_weight_cycle(graph: List[List[Tuple[int, int]]]) -> int:
    n = len(graph)
    memo = [[-sys.maxsize for _ in range(n+1)] for _ in range(n)]
    res = -sys.maxsize
    for i in range(n):
        for j in range(2, n+1):
            res = max(res, dfs(i, j, graph, memo))
    return res

# example usage
graph = [
    [(1, 2), (2, 3)], # 0
    [(2, 1), (3, 2)], # 1
    [(3, -1)],        # 2
    [(0, -2)]         # 3
]
print(max_weight_cycle(graph)) # expected output: 4

以上代码实现了动态规划算法的记忆化搜索版本，其中 `graph` 是一个邻接表表示的有向图，每个元素是一个包含两个元素的二元组，分别表示边的终点和权值。函数 `max_weight_cycle` 返回图中最大权值环的总权值。