椭圆抛物面的方程为x^2/a^2 +y^2/b^2 =2z，求参数方程

椭圆抛物面的方程为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 2z$。我们可以将其转化为参数方程的形式。

令 $x = a\cos t, y = b\sin t$，则有：
$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \cos^2 t + \sin^2 t = 1$$
代入椭圆抛物面的方程，可得：
$$2z = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$
因此，$z = \frac{1}{2}$。

因此，椭圆抛物面的参数方程为：
$$\begin{cases} x = a\cos t \\ y = b\sin t \\ z = \frac{1}{2} \end{cases}$$

其中 $t$ 为参数，取值范围为 $[0, 2\pi)$。

相关问题

设平面的方程为 $ax + by + cz + d = 0$，椭圆抛物面的方程为x^2/a^2 +y^2/b^2 =2z，求平面和椭圆抛物面的交线的参数方程

将平面的方程代入椭圆抛物面的方程，得到交线的方程：
$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{(ax + by + d)}{2c} = 0$$
整理后可得到：
$$(b^2+2ac)x^2 + (a^2+2bc)y^2 + 2abcdxy + 2a^2czx + 2b^2czy + c^2d^2 = 0$$
令 $A = b^2+2ac, B = a^2+2bc, C = 2abcd, D = 2a^2cz, E = 2b^2cz, F = c^2d^2$，则交线的方程可以写作：
$$Ax^2 + By^2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0$$

由于该方程是一个二次曲线方程，我们可以通过配方法得到标准式，即：
$$\left(x+\frac{Cy+2BE}{4AE-C^2}\right)^2 + \left(y+\frac{Cx+2AD}{4BE-C^2}\right)^2 = \frac{4AEF-C^2D^2}{(4AE-C^2)(4BE-C^2)}$$

这是一个标准的椭圆方程，其中 $x_0 = -\frac{Cy+2BE}{4AE-C^2}$ 和 $y_0 = -\frac{Cx+2AD}{4BE-C^2}$ 分别为椭圆的中心坐标，$a' = \sqrt{\frac{4AEF-C^2D^2}{(4AE-C^2)(4BE-C^2)}}$ 和 $b' = \sqrt{\frac{4AEF-C^2D^2}{(4BE-C^2)(4AE-C^2)}}$ 分别为椭圆的半轴长。

因此，平面和椭圆抛物面的交线的参数方程为：
$$\begin{cases} x = -\frac{Cy+2BE}{4AE-C^2} + a'\cos t \\ y = -\frac{Cx+2AD}{4BE-C^2} + b'\sin t \\ z = \frac{ax+by+d}{2c} \end{cases}$$

其中 $t$ 为参数，取值范围为 $[0, 2\pi)$。

求下列曲面围成立体的体积 z=x^2/a^2+y^2/b^2,xy=a^2,xy=2a^2,y=b^2*x,y=2b^2*x,z=0

首先，我们可以用 xy=a^2 和 xy=2a^2 两个平面将曲面分为两部分。由于问题的对称性，我们只需要考虑其中一个部分的体积，然后将其乘以 2 即可得到整个立体的体积。

接下来，我们需要找到两个相邻的曲面 z1 和 z2，使得它们之间的体积可以用标准公式 V = ∫A(z)dz 来计算。其中 A(z) 是曲面在 z 轴高度为 z 时的投影面积。注意到这个曲面是一个旋转抛物面，因此它在任意一条垂直于 z 轴的直线上的投影都是一个椭圆。而且由于 xy=a^2 和 y=b^2*x 的限制，这些椭圆的长轴和短轴都是定值，因此我们可以直接计算出任意高度下的投影面积。

具体来说，我们可以将 xy=a^2 和 y=b^2*x 分别解出 y 和 x 的表达式，得到两个函数 y=f1(x) 和 y=f2(x)。然后我们可以用椭圆的标准公式 A(z) = πab 来计算每个高度下的投影面积，其中 a 和 b 分别是椭圆的长轴和短轴。注意到这里的 a 和 b 实际上就是 f1(z/a) 和 f2(z/a)。因此我们可以得到：

A(z) = πf1(z/a)f2(z/a)

接下来，我们需要找到 z=x^2/a^2+y^2/b^2 和 z=0 这两个曲面的交线方程。注意到这两个曲面分别是一个椭圆柱面和一个平面，它们的交线是一个椭圆。我们可以将它们代入 xy=a^2 和 y=b^2*x 两个限制条件中，得到：

x^2/a^2 + (a^4/x^2)/b^2 = 1

x^2/a^2 + (a^2/(2x))^2/b^2 = 1

解出 x 后，我们可以得到两个高度，分别是 z1 = x^2/a^2+(a^4/x^2)/b^2 和 z2 = x^2/a^2+(a^2/(2x))^2/b^2。注意到这里要求 x>0，因为我们只考虑了 xy=a^2 和 y=b^2*x 这两个限制条件的一个象限。

现在我们可以计算体积了：

V = 2∫[0,a√2] A(z) dz

= 2π∫[0,a√2] f1(z/a)f2(z/a) dz

= 2π∫[a,b] f1(x)f2(x)x/√(x^2-a^2) dx

其中最后一个积分是将 z1 和 z2 的 x 表达式合并后得到的。注意到这里的积分区间是从 a 到 b，其中 b 是交线的横坐标的最大值，即 b=√(2)a。