椭圆抛物面的方程为x^2/a^2 +y^2/b^2 =2z，求参数方程

椭圆抛物面的方程为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 2z$。我们可以将其转化为参数方程的形式。

令 $x = a\cos t, y = b\sin t$，则有：
$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \cos^2 t + \sin^2 t = 1$$
代入椭圆抛物面的方程，可得：
$$2z = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$
因此，$z = \frac{1}{2}$。

因此，椭圆抛物面的参数方程为：
$$\begin{cases} x = a\cos t \\ y = b\sin t \\ z = \frac{1}{2} \end{cases}$$

其中 $t$ 为参数，取值范围为 $[0, 2\pi)$。

相关问题

设平面的方程为 $ax + by + cz + d = 0$，椭圆抛物面的方程为x^2/a^2 +y^2/b^2 =2z，求平面和椭圆抛物面的交线的参数方程

将平面的方程代入椭圆抛物面的方程中，得到：

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 2\left(-\frac{d}{c}\right)$$

令 $k = -\frac{d}{c}$，则上式变为：

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 2k$$

将 $z$ 用 $x$ 和 $y$ 表示，代入平面的方程中，得到：

$$z = -\frac{a}{c}x - \frac{b}{c}y - \frac{d}{c}$$

将上式代入椭圆抛物面的方程中，得到：

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 2\left(-\frac{a}{c}x - \frac{b}{c}y - \frac{d}{c}\right)$$

化简可得：

$$cx^2 + cy^2 + 2dxy + 2akcx + 2bkcy + a^2k^2 + b^2k^2 = 0$$

令 $A = c$，$B = d$，$C = a^2k^2 + b^2k^2$，$D = 2akc$，$E = 2bkc$，则上式变为：

$$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey = 0$$

这是一个二次曲线的一般式，可以用矩阵的方法求解。令 $\mathbf{x} = (x, y, 1)$，$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} A & \frac{B}{2} & 0 \\ \frac{B}{2} & C & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，则上式可表示为 $\mathbf{x}^\mathrm{T} \mathbf{A} \mathbf{x} = 0$。

对 $\mathbf{A}$ 进行对角化，得到 $\mathbf{A} = \mathbf{P} \mathbf{D} \mathbf{P}^\mathrm{T}$，其中 $\mathbf{D}$ 是 $\mathbf{A}$ 的特征值构成的对角矩阵，$\mathbf{P}$ 是 $\mathbf{A}$ 的特征向量构成的正交矩阵。令 $\mathbf{y} = \mathbf{P}^\mathrm{T} \mathbf{x}$，则 $\mathbf{x} = \mathbf{P} \mathbf{y}$，且 $\mathbf{x}^\mathrm{T} \mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{y}^\mathrm{T} \mathbf{D} \mathbf{y}$。因此，原方程可以化为 $\mathbf{y}^\mathrm{T} \mathbf{D} \mathbf{y} = 0$。

设 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 分别为 $\mathbf{A}$ 的两个非零特征值，则 $\mathbf{D} = \mathrm{diag}(\lambda_1, \lambda_2, 0)$，且 $\lambda_1 \lambda_2 = AC - \frac{B^2}{4}$。特征向量为 $\mathbf{v}_1 = (v_{11}, v_{12}, 0)$ 和 $\mathbf{v}_2 = (v_{21}, v_{22}, 0)$，其中 $\mathbf{v}_1$ 和 $\mathbf{v}_2$ 是单位向量。因此，$\mathbf{P} = \begin{pmatrix} v_{11} & v_{21} & 0 \\ v_{12} & v_{22} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。

令 $\mathbf{y} = (u, v, 1)$，则 $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} v_{11} & v_{21} & 0 \\ v_{12} & v_{22} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_{11} u + v_{21} v \\ v_{12} u + v_{22} v \\ 1 \end{pmatrix}$。因此，交线的参数方程为：

$$\begin{cases} x = v_{11} u + v_{21} v \\ y = v_{12} u + v_{22} v \\ z = -\frac{a}{c} (v_{11} u + v_{21} v) - \frac{b}{c} (v_{12} u + v_{22} v) - k \end{cases}$$

求下列曲面围成立体的体积 z=x^2/a^2+y^2/b^2,xy=a^2,xy=2a^2,y=b^2*x,y=2b^2*x,z=0

首先，我们可以用 xy=a^2 和 xy=2a^2 两个平面将曲面分为两部分。由于问题的对称性，我们只需要考虑其中一个部分的体积，然后将其乘以 2 即可得到整个立体的体积。

接下来，我们需要找到两个相邻的曲面 z1 和 z2，使得它们之间的体积可以用标准公式 V = ∫A(z)dz 来计算。其中 A(z) 是曲面在 z 轴高度为 z 时的投影面积。注意到这个曲面是一个旋转抛物面，因此它在任意一条垂直于 z 轴的直线上的投影都是一个椭圆。而且由于 xy=a^2 和 y=b^2*x 的限制，这些椭圆的长轴和短轴都是定值，因此我们可以直接计算出任意高度下的投影面积。

具体来说，我们可以将 xy=a^2 和 y=b^2*x 分别解出 y 和 x 的表达式，得到两个函数 y=f1(x) 和 y=f2(x)。然后我们可以用椭圆的标准公式 A(z) = πab 来计算每个高度下的投影面积，其中 a 和 b 分别是椭圆的长轴和短轴。注意到这里的 a 和 b 实际上就是 f1(z/a) 和 f2(z/a)。因此我们可以得到：

A(z) = πf1(z/a)f2(z/a)

接下来，我们需要找到 z=x^2/a^2+y^2/b^2 和 z=0 这两个曲面的交线方程。注意到这两个曲面分别是一个椭圆柱面和一个平面，它们的交线是一个椭圆。我们可以将它们代入 xy=a^2 和 y=b^2*x 两个限制条件中，得到：

x^2/a^2 + (a^4/x^2)/b^2 = 1

x^2/a^2 + (a^2/(2x))^2/b^2 = 1

解出 x 后，我们可以得到两个高度，分别是 z1 = x^2/a^2+(a^4/x^2)/b^2 和 z2 = x^2/a^2+(a^2/(2x))^2/b^2。注意到这里要求 x>0，因为我们只考虑了 xy=a^2 和 y=b^2*x 这两个限制条件的一个象限。

现在我们可以计算体积了：

V = 2∫[0,a√2] A(z) dz

= 2π∫[0,a√2] f1(z/a)f2(z/a) dz

= 2π∫[a,b] f1(x)f2(x)x/√(x^2-a^2) dx

其中最后一个积分是将 z1 和 z2 的 x 表达式合并后得到的。注意到这里的积分区间是从 a 到 b，其中 b 是交线的横坐标的最大值，即 b=√(2)a。