对于一个正整数n的分划就是把n写成一系列正整数之和的表达式。例如,对于正整数n=6,它可以分划为: 6 5+1 4+2, 4+1+1 3+3, 3+2+1, 3+1+1+1 2+2+2, 2+2+1+1, 2+1+1+1+1 1+1+1+1+1+1,一共有11种,其中5+1和1+5被认为是同样的。 输入格式: 输入有多组数据,每行为一个正整数n(n < 50)。 输出格式: 对于每组输入,输出有多少种整数划分的方法。 输入样例: 在这里给出一组输入。例如: 1 6 输出样例: 在这里给出相应的输出。例如: 1 11
时间: 2023-09-28 20:12:31 浏览: 37
这个问题可以使用动态规划的方法解决。设 $dp[i][j]$ 表示将 $i$ 分成若干个正整数之和,其中最大的数为 $j$ 的划分数。初始状态为 $dp[i][1]=1$,表示将 $i$ 分成 $i$ 个 $1$ 的划分数为 $1$。转移方程为:
$$
dp[i][j] = dp[i-j][j] + dp[i-1][j-1] \quad (i \geq j)
$$
表示将 $i$ 分成若干个正整数之和,其中最大的数为 $j$,可以分成 $j$ 和其他数的和,或者不包含 $j$,即将 $i$ 分成若干个正整数,其中最大的数小于 $j$。最终的答案是将 $n$ 分成若干个正整数之和的划分数之和。
需要注意的是,对于每个 $i$,需要从 $dp[i][i]$ 开始遍历,因为将 $i$ 分成若干个正整数之和,其中最大的数不可能大于 $i$。另外,如果 $i < j$,则 $dp[i][j]=dp[i][i]$,因为不能分出大于 $i$ 的数。
以下是 Python 的实现代码:
```python
def integer_partition(n):
dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
for i in range(1, n + 1):
dp[i][1] = 1
for i in range(2, n + 1):
for j in range(i, 0, -1):
if i >= j:
dp[i][j] = dp[i - j][j] + dp[i - 1][j - 1]
else:
dp[i][j] = dp[i][i]
return sum(dp[n][1:])
# 测试
n = int(input())
while n:
print(integer_partition(n))
n = int(input())
```
以下是 C++ 的实现代码:
```c++
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
long long dp[55][55];
long long integer_partition(int n) {
memset(dp, 0, sizeof(dp));
for (int i = 1; i <= n; i++) {
dp[i][1] = 1;
}
for (int i = 2; i <= n; i++) {
for (int j = i; j >= 1; j--) {
if (i >= j) {
dp[i][j] = dp[i - j][j] + dp[i - 1][j - 1];
} else {
dp[i][j] = dp[i][i];
}
}
}
long long ans = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
ans += dp[n][i];
}
return ans;
}
int main() {
int n;
cin >> n;
while (n) {
cout << integer_partition(n) << endl;
cin >> n;
}
return 0;
}
```
以下是 C 的实现代码:
```c
#include <stdio.h>
#include <string.h>
long long dp[55][55];
long long integer_partition(int n) {
memset(dp, 0, sizeof(dp));
for (int i = 1; i <= n; i++) {
dp[i][1] = 1;
}
for (int i = 2; i <= n; i++) {
for (int j = i; j >= 1; j--) {
if (i >= j) {
dp[i][j] = dp[i - j][j] + dp[i - 1][j - 1];
} else {
dp[i][j] = dp[i][i];
}
}
}
long long ans = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
ans += dp[n][i];
}
return ans;
}
int main() {
int n;
scanf("%d", &n);
while (n) {
printf("%lld\n", integer_partition(n));
scanf("%d", &n);
}
return 0;
}
```
需要注意的是,C 语言中不能使用 `bool` 类型,需要使用 `int` 类型代替,0 表示 false,非 0 表示 true。另外,需要使用 `%lld` 格式化符输出 long long 类型的结果。