若图G为连通图且不存在拓扑排序序列，则图G必有环

是的，这个结论是正确的。拓扑排序是一种对有向无环图（DAG）进行排序的算法。它可以将DAG中的所有节点排成一个线性序列，使得对于任何一条有向边(u,v)，节点u在序列中都排在节点v的前面。因此，如果一个有向图不存在拓扑排序序列，那么它一定不是一个DAG，也就是说，它必须有环。而对于连通图来说，如果它的任意一个子图都不存在拓扑排序序列，那么它本身也一定不存在拓扑排序序列，因为如果存在拓扑排序序列，则这个子图也一定存在拓扑排序序列。所以，如果一个连通图不存在拓扑排序序列，那么它一定有环。

相关问题

如果从有向图 G 的每一点均能通过深度优先搜索遍历到所有其它顶点，那么该图一定不存在拓扑序列。

### 回答1：
这个结论是错误的。事实上，如果有向图 G 中每个点均能通过深度优先搜索遍历到所有其它顶点，那么该图一定存在一个拓扑序列。

证明如下：

假设 G 中不存在拓扑序列，即 G 中存在一个环。那么，在这个环上任选一个点作为起点，从这个点出发进行深度优先搜索。由于环上任意一个点都可以通过深度优先搜索到另一个点，所以在进行深度优先搜索时，在环上遍历时会回到已经遍历过的点，即回到环的某个点。但是，由于这个点在已经遍历过的点中，所以这个点不会再次被遍历。因此，不存在回到已经遍历过的点的情况，也就是说不存在环，与假设矛盾。因此，我们得出结论：如果有向图 G 中每个点均能通过深度优先搜索遍历到所有其它顶点，那么该图一定存在一个拓扑序列。

### 回答2：
如果从有向图 G 的每一点均能通过深度优先搜索遍历到所有其它顶点，意味着该图是连通的，即所有顶点互相可达。

假设该图存在拓扑序列，即可以对图中的顶点进行线性排序，使得每一条有向边的起点在排序中在终点之前。由于图是连通的，所有顶点互相可达，那么根据拓扑排序的定义，排序中第一个顶点为入度为0的顶点，最后一个顶点为出度为0的顶点。

然而，在图中任意选取一个顶点作为起点进行深度优先搜索，由于图中所有顶点互相可达，那么搜索结束后，所有顶点都会被访问到，即所有顶点都会在搜索结束时变成已访问状态。这意味着每一个顶点的入度都为0，因为没有顶点可以通过有向边指向它。

因此，如果从有向图 G 的每一点均能通过深度优先搜索遍历到所有其它顶点，那么该图所有顶点的入度都为0，即不存在入度为0的顶点。而根据拓扑排序的定义，拓扑序列中要求至少存在一个入度为0的顶点。这就产生了矛盾，证明了该图不存在拓扑序列。

### 回答3：
如果从有向图G的每一点均能通过深度优先搜索遍历到所有其他顶点，那么该图一定不存在拓扑序列。

在一个有向图中，拓扑排序是一种将所有顶点线性排列的方法，使得图中的所有有向边从排列中的节点指向它们的终点节点。一个有向图可以存在多个拓扑序列，但如果一个图的每个节点都能够通过深度优先搜索遍历到所有其他顶点，那么这个图就不可能存在拓扑序列。

在进行深度优先搜索时，遍历到的节点会被标记为已访问，且该节点的所有邻接节点会被递归地访问。如果一个节点能够被DFS遍历到所有其他节点，那么意味着在该节点之前的所以节点都已被访问过，这就破坏了拓扑排序中有向边从排列中的节点指向终点节点的要求。

因此，如果一个有向图的每一点均能通过深度优先搜索遍历到所有其他顶点，那么这个图就不可能存在拓扑序列。

拓扑排序、割点与割边、强连通分量

拓扑排序、割点与割边以及强连通分量是图论中的重要概念和算法。

1. 拓扑排序（Topological Sorting）：
拓扑排序是对有向无环图（DAG）进行排序的一种算法。拓扑排序可以得到一个顶点的线性序列，使得对于任意一条有向边(u, v)，在序列中顶点u都排在顶点v的前面。拓扑排序常用于表示任务之间的依赖关系，例如在工程项目中确定任务的执行顺序。

2. 割点与割边（Cut Vertex and Cut Edge）：
割点是指在无向连通图中，如果移除该顶点以及与该顶点相连的所有边，会导致图不再连通，则该顶点被称为割点。割边是指在无向连通图中，如果移除该边，会导致图不再连通，则该边被称为割边。割点和割边的存在可以影响到图的连通性，因此在网络设计、通信等领域有着重要的应用。

3. 强连通分量（Strongly Connected Component）：
强连通分量是指在有向图中，如果对于图中任意两个顶点u和v，存在从u到v和从v到u的路径，那么称u和v在同一个强连通分量中。强连通分量可以将有向图的顶点划分成若干个子集，每个子集内的顶点之间互相可达。强连通分量可以用于分析网络中的关键节点，寻找网络的可靠性，以及在编译器设计中进行代码优化等领域。

这些概念和算法在图论中都有着广泛的应用，并且还有许多相关的算法和扩展。深入理解和掌握这些概念和算法，可以帮助我们更好地理解和解决各种与图相关的问题。