设 G 为群,H 是G 的非空子集. <H,*>是<G,*> 的子群当且仅当∀a,b∈H 有a*∈H.
时间: 2024-02-26 21:52:17 浏览: 20
是的,这是一个正确的结论。如果我们要证明<H,*>是<G,*>的子群,需要证明以下三个条件:
1. 封闭性:对于任意的a,b∈H,有a*b∈H。
2. 结合律:对于任意的a,b,c∈H,有(a*b)*c=a*(b*c)。
3. 存在单位元素:存在一个元素e∈H,使得对于任意的a∈H,有a*e=e*a=a。
由于H是G的子集,因此对于任意的a∈H,a也属于G。因为G是一个群,所以满足封闭性、结合律和存在单位元素的条件。由于H是G的非空子集,因此至少存在一个元素e∈H,使得e也是G的单位元素。因此,对于任意的a∈H,都有a*e=e*a=a,满足存在单位元素的条件。又因为对于任意的a,b∈H,有a*b∈G,所以a*b∈H,满足封闭性的条件。因此,<H,*>是<G,*>的子群。
相关问题
1、在〈Z6,⊕〉中,计算元素的幂2^-3,1^-4。 2、设G为群,a∈G且 |a| = r, k是整数,证明 若 a^k = e 则 r | k . 3、下列关于格的说法中正确有的哪些 A 若<S,○,*> 是格,H是S的非空子集,则H关于S中的运算构成格。 B 若<S,○,*> 是格,则这两个运算都满足交换律、结合律、吸收律、分配律 C 若<S,○,*> 是格,且S是有穷集合,则该格一定存在全上界和全下界。 D 若偏序集<S,≤> 是格,且S是有穷集合,则集合S存在最大元和最小元。 E 若<S,○,*> 是有界分配格,则S中所有元素都有补元。 F 若<S,○,*> 是有界分配格,则S中的元素若有补元,补元一定唯一。
1、在〈Z6,⊕〉中,计算元素的幂2^-3,1^-4。
在〈Z6,⊕〉中,元素的幂可以表示为 a^n = a⊕a⊕...⊕a (n个a相加),其中 ⊕ 表示群运算。因此,可以得到:
2^-3 = 2⊕2⊕2 = 0
1^-4 = 1⊕1⊕1⊕1 = 0
2、设G为群,a∈G且 |a| = r, k是整数,证明 若 a^k = e 则 r | k。
根据群的定义,a^r = e。因此,可以把k表示为 k = qr + t,其中q是整数,0 ≤ t < r。那么,可以得到:
a^k = a^(qr+t) = (a^r)^q ⊕ a^t = e^q ⊕ a^t = a^t
因为a^k = e,所以a^t = e。由于t < r,所以t只能为0,否则会与a的阶的定义矛盾。因此,k = qr,即 r | k。
3、下列关于格的说法中正确有的哪些
A 若<S,○,*> 是格,H是S的非空子集,则H关于S中的运算构成格。 正确
B 若<S,○,*> 是格,则这两个运算都满足交换律、结合律、吸收律、分配律 错误
C 若<S,○,*> 是格,且S是有穷集合,则该格一定存在全上界和全下界。 正确
D 若偏序集<S,≤> 是格,且S是有穷集合,则集合S存在最大元和最小元。 正确
E 若<S,○,*> 是有界分配格,则S中所有元素都有补元。 错误
F 若<S,○,*> 是有界分配格,则S中的元素若有补元,补元一定唯一。 正确
V为数域K上线性空间,S是V的任意非空子集,V中包含S的所有子空间的交称为由S生成的子空间<S>,证明S包含于<S>
设S包含m个向量{s1,s2,...,sm},则<S>为包含S的所有子空间的交,即<S>=W1∩W2∩...∩Wk,其中Wi是包含S的子空间。
由于S非空,至少存在一个Wi包含S中的任意一个向量,因此Wi包含S的线性组合,即Wi包含向量{s1,s2,...,sm}的线性组合。又因为<S>=W1∩W2∩...∩Wk,所以<S>也包含{s1,s2,...,sm}的线性组合,即<S>包含S。
综上,S包含于<S>。
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