警告: 在 t=1.220295e-25 处失败。在时间 t 处，步长必须降至所允许的最小值(3.673420e-40)以下，才能达到积分容差要求。

这个警告通常是在数值积分过程中出现的，它意味着在某个时间点上，数值积分器无法以当前步长找到一个足够精确的解。为了解决这个问题，你需要采用一些方法来调整数值积分过程中的参数，例如增加积分步数、减小步长、使用更高阶的数值积分方法等等。同时，你还需要注意可能存在的数值不稳定性和误差积累问题，以确保得到精确和可靠的结果。

相关问题

警告: 在 t=5.119753e+02 处失败。在时间 t 处，步长必须降至所允许的最小值(9.094947e-13)以下，才能达到积分容差要求。

### 解决Matlab ODE Solver最小步长容差错误

当使用 Matlab 的 ODE 求解器遇到特定时间点处步长过小而无法满足积分容差的情况时，可以采取多种方法来处理这个问题。通常这种现象表明系统在这个时间段内变化非常剧烈或者存在刚性问题。

对于 MARRMoT 中使用的 ODE 求解器，在 `t=5.119753e+02` 处遇到了步长太小以至于不能进一步减小但仍不满足精度要求的问题[^1]。为了应对这种情况，建议尝试调整求解器设置或改变模型结构：

#### 调整求解器选项
可以通过设定更宽松的最大绝对误差 (`AbsTol`) 和相对误差 (`RelTol`) 来允许更大的计算偏差，从而可能使求解过程继续下去而不陷入极小的时间步长困境。例如：

options = odeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',1e-6);
[t,y] = ode45(@model_function,[time_start time_end],initial_conditions,options);

#### 使用更适合的求解算法
如果当前采用的是非刚性的求解器（如 `ode45`），考虑切换到专为刚性方程设计的方法，比如 `ode15s` 或者 `ode23s`。这些求解器能够更好地处理那些具有快速变化特性的动力学系统。

[t,y] = ode15s(@model_function,[time_start time_end],initial_conditions);

#### 修改模型表达形式
有时通过重新定义状态变量或是对方程式做一些合理的近似简化也可以缓解数值不稳定带来的困难。这需要基于具体的应用背景来进行适当变换。

#### 设置最大和最小时步大小限制
直接控制每一步的最大时间和最小时间增量也可能有助于解决问题。虽然这不是最优方案，但在某些情况下确实有效。

options = odeset('MaxStep',max_step_size,'MinStepSize',min_step_size);

以上措施应该可以帮助克服由于时间步长过小而导致的积分失败问题。值得注意的是，任何更改都应仔细评估其对最终结果准确性的影响。

在 t=5.208957e-04 处失败。在时间 t 处，步长大小必须降至所允许的最小值(1.734723e-18)以下，才能达到积分容差要求。

### 解决ODE求解器中步长过小导致无法满足积分容差的问题

当遇到`ode45`或其他ODE求解器报告“Unable to meet integration tolerances without reducing the step size below the smallest value allowed”的错误时，这通常意味着系统的刚性(stiffness)超出了所选求解器的能力范围[^1]。

对于非刚性和轻微刚性的系统，可以尝试调整相对误差(`RelTol`)和绝对误差(`AbsTol`)的默认值来改善情况。例如：

options = odeset('RelTol',1e-6,'AbsTol',1e-8);
[t,y] = ode45(@yourODEFunction,tspan,y0,options);

然而，在某些情况下，即使调整了这些参数仍然会遭遇同样的问题。此时建议考虑以下几个方面：

- **评估模型复杂度**：检查是否存在复杂的物理现象未被适当简化或近似处理；确认初始条件是否合理[^3]。

- **选择合适的求解算法**：对于高度刚性的问题，应该选用专门设计用于此类情形的方法，比如`ode15s`、`ode23s`等替代`ode45`。这类方法能够更有效地应对大时间跨度内的快速变化事件[^4]。

- **优化方程结构**：有时通过重新排列变量顺序或者引入中间变量可以使原问题变得更容易求解。另外，确保微分方程组内部不存在冗余项也很重要。

下面是一个简单的例子展示如何切换到更适合刚性问题的求解器并设置选项：

% 定义新的求解器及其配置
solverOptions = odeset('RelTol',1e-6,'AbsTol',[1e-8 1e-8]);
[solutionTime, solutionValues] = ode15s(@stiffEquationSystem,timeSpan,initialConditions,solverOptions);

function dydt = stiffEquationSystem(t,y)
    % 这里定义具体的微分方程逻辑...
end