求n!的约数个数----唯一分解定理

唯一分解定理指出，任何一个正整数n都可以唯一地分解成若干个质数的乘积，即：

n = p1^a1 * p2^a2 * ... * pk^ak

其中p1、p2、...、pk为不同的质数，a1、a2、...、ak为正整数。

因此，n!可以分解为：

n! = 2^b1 * 3^b2 * ... * p^bk

其中p为不超过n的最大质数，bi为n!中质因数pi的指数。

由于任意一个正整数的约数个数与其分解质因数后的指数有关，因此n!的约数个数为：

d(n!) = (b1 + 1) * (b2 + 1) * ... * (bk + 1)

即所有质因数的指数加1的乘积。

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【模板】唯一分解定理

唯一分解定理（Unique Factorization Theorem），也称为正整数的唯一素因子分解定理，是数论中的一个重要定理。该定理指出，每个大于1的正整数可以被唯一地分解为若干个素数的乘积，而且这种分解方式在除了因子的顺序不同以外是唯一的。

具体来说，唯一分解定理可以表述为：任何大于1的正整数n，都可以写成 n = p1^k1 * p2^k2 * ... * pn^kn 的形式，其中p1、p2、...、pn是不同的素数，k1、k2、...、kn是大于等于0的整数。而且，如果存在另外一种素因子分解方式 n = q1^m1 * q2^m2 * ... * qr^mr，则必须满足pi = qj且ki = mj，即两种分解方式中的素数和次数完全相同。

唯一分解定理在数论和代数中都具有重要的应用，例如在求解最大公约数、最小公倍数以及解线性同余方程等问题时都起到关键作用。它也为其他定理和概念提供了坚实的基础，如欧拉函数、费马小定理等。

需要注意的是，唯一分解定理仅适用于正整数，对于负整数和分数则不成立。