用galerkin方法证明cea 引理

首先，我们需要了解一下什么是Galerkin方法和CEA引理。

Galerkin方法是一种求解偏微分方程的数值方法，它通过将原方程进行变分，将问题转化为求解一组线性方程组的形式，从而得到近似解。Galerkin方法的基本思想是，将解函数表示为一组基函数的线性组合，然后通过适当的选取基函数，使得误差最小化。

CEA引理是指对于一个弱解$u$，满足一定条件的有限元解$u_h$与$u$之间的误差可以通过对称正定的有限元刚度矩阵$A$和有限元右端向量$f$进行控制，即

$$\|u-u_h\|_{H^1(\Omega)}\leq C\inf_{v_h\in V_h}\|u-v_h\|_{H^1(\Omega)}$$

其中，$C$是一个常数，$V_h$是一个有限维函数空间。

现在，我们可以来证明CEA引理。

假设$u$是一个弱解，$u_h$是一个有限元解，满足$u_h\in V_h$。我们可以定义误差函数$e=u-u_h$，则有

$$\int_\Omega\nabla u_h\nabla e\mathrm{d}x=\int_\Omega\nabla u\nabla e\mathrm{d}x-\int_\Omega f\nabla e\mathrm{d}x$$

利用Galerkin方法，我们可以将$u_h$和$e$表示为一组基函数的线性组合，即

$$u_h=\sum_{i=1}^n u_i\varphi_i(x),\quad e=\sum_{i=1}^n e_i\varphi_i(x)$$

其中，$\varphi_i(x)$是基函数，$u_i$和$e_i$是系数。将$u_h$和$e$代入上式中，得到

$$\sum_{i=1}^n u_i\int_\Omega\nabla\varphi_i\nabla e\mathrm{d}x=\sum_{i=1}^n u_i\int_\Omega\nabla\varphi_i\nabla u\mathrm{d}x-\sum_{i=1}^n u_i\int_\Omega\varphi_if\mathrm{d}x$$

注意到$u_h\in V_h$，因此可以将上式中的$u_i$看作是任意常数，而$\varphi_i(x)$是已知的基函数。因此，上式可以看作是一个线性方程组，其中的未知数是$e_i$。设解为$e_i^\ast$，则有

$$\sum_{i=1}^n u_i\int_\Omega\nabla\varphi_i\nabla e_i^\ast\mathrm{d}x=\sum_{i=1}^n u_i\int_\Omega\nabla\varphi_i\nabla u\mathrm{d}x-\sum_{i=1}^n u_i\int_\Omega\varphi_if\mathrm{d}x$$

由于$e^\ast$是近似解，因此有

$$\|e\|_{H^1(\Omega)}\leq\|e^\ast\|_{H^1(\Omega)}$$

另一方面，根据Galerkin方法的定义，我们有

$$\inf_{v_h\in V_h}\|u-v_h\|_{H^1(\Omega)}\leq\|u-u_h\|_{H^1(\Omega)}$$

结合上述两式，得到

$$\inf_{v_h\in V_h}\|u-v_h\|_{H^1(\Omega)}\leq\|u-u_h\|_{H^1(\Omega)}\leq C\|e^\ast\|_{H^1(\Omega)}$$

其中，$C=\sup_{v_h\in V_h}\frac{\|A(v_h)\|_{H^1(\Omega)}}{\|v_h\|_{H^1(\Omega)}}$，而$A(v_h)$是有限元刚度矩阵。

因此，我们证明了CEA引理。