(n+1)x^n，n从1开始趋近无穷，求这个幂级数的和函数

这是一个幂级数，可以使用求导法求出它的和函数。

首先，对原式进行求导得到：

( n+1 ) x^n -> (n+1) * x^(n-1)

再次对得到的式子求导：

( n+1 ) * x^(n-1) -> (n+1) * (n-1) * x^(n-2)

以此类推，对幂级数进行 k 次求导得到：

(n+1) * (n-1) * ... * (n-k+2) * x^(n-k+1)

注意到当 n < k-1 时，幂级数的 k 次导数恒为 0。因此，幂级数的和函数为：

f(x) = Σ[ k=1->∞ ] (n+1) * (n-1) * ... * (n-k+2) * x^(n-k+1)

其中，Σ 表示求和符号。

稍微化简一下，可以得到：

f(x) = Σ[ k=1->∞ ] (n+1) * (n-1) * ... * (n-k+2) * x^(n-k+1)
= Σ[ k=0->∞ ] (n+1) * (n-1) * ... * (n-k+2) * x^(n-k+1)
= Σ[ k=0->∞ ] (n+1) * (n-1) * ... * (n-k+2) * x^k

这个式子可以用动态规划来求解，时间复杂度为 O(n^2)。

相关问题

n(n+1)x^n，n从1趋近无穷，求该幂级数的和函数

为了求这个幂级数的和函数，我们可以使用幂级数求和的方法。具体来说，我们可以对该幂级数进行求导，得到：

S(x) = ∑[n=1,∞] n(n+1)x^n
S'(x) = ∑[n=1,∞] n(n+1)x^(n-1)
= ∑[n=0,∞] (n+1)(n+2)x^n

注意到上面的求和符号是从n=0开始的，因此我们可以将其重新表示为：

S'(x) = ∑[n=0,∞] (n+1)(n+2)x^n
= ∑[n=0,∞] (n^2 + 3n + 2)x^n
= ∑[n=0,∞] n^2x^n + 3∑[n=0,∞] nx^n + 2∑[n=0,∞] x^n

现在我们需要分别求出三个幂级数的和函数，即：

F(x) = ∑[n=0,∞] n^2x^n
G(x) = ∑[n=0,∞] nx^n
H(x) = ∑[n=0,∞] x^n

对于F(x)，我们可以将其看作是x的一个二阶导数，因此有：

F(x) = x(d^2/dx^2)(∑[n=0,∞] x^n)
= x(d^2/dx^2)(1/(1-x))
= 2x/(1-x)^3

对于G(x)，我们可以将其看作是x的一阶导数，因此有：

G(x) = x(d/dx)(∑[n=0,∞] x^n)
= x(d/dx)(1/(1-x))
= 1/(1-x)^2

对于H(x)，我们有：

H(x) = ∑[n=0,∞] x^n
= 1/(1-x)

现在我们可以将S'(x)表示为：

S'(x) = F(x) + 3G(x) + 2H(x)
= 2x/(1-x)^3 + 3/(1-x)^2 + 2/(1-x)

对S(x)进行积分，得到：

S(x) = -2ln(1-x)/(1-x)^2 - 3/(1-x) - 2ln(1-x) + C

其中C为常数。由于S(0) = 0，我们有C = 0，因此：

S(x) = -2ln(1-x)/(1-x)^2 - 3/(1-x) - 2ln(1-x)

因此，原幂级数的和函数为S(x)。

n^2*x^n，n从1趋近无穷，求该幂级数的和函数

要求幂级数的和函数，我们需要先对其进行求和。设该幂级数的和为S(x)，则：

S(x) = ∑[n=1,∞] n^2*x^n

对于求和式，我们可以先对其进行分解，即：

S(x) = x*∑[n=1,∞] n^2*x^(n-1)

然后对 ∑[n=1,∞] n^2*x^(n-1) 进行求导，得到：

dS(x)/dx = ∑[n=1,∞] n^3*x^(n-1)

再对 ∑[n=1,∞] n^3*x^(n-1) 求和，得到：

dS(x)/dx = x*∑[n=1,∞] n^3*x^(n-1)
= x*(∑[n=1,∞] (n*x)^3) / (1-x)^4 (这里用到了幂级数求和公式)

对其积分，得到：

S(x) = ∫[0,x] dS(t)/dt dt
= ∫[0,x] t*(∑[n=1,∞] (n*t)^3) / (1-t)^4 dt

这个积分比较复杂，不过可以通过一些方法进行求解，比如分部积分、换元等。最终得到的和函数为：

S(x) = x*(1+x)/(1-x)^3 - 3x/(1-x)^2 + 3/(1-x)

这就是所求的幂级数的和函数。