复变函数的极限、连续与可导性

# 1. 复数与复变函数的基础

## 1.1 复数的定义与性质
复数是由实数部分和虚数部分构成的数，可以用以下形式表示：$z = a + bi$，其中$a$为实数部分，$b$为虚数部分，且$i$为虚数单位，满足$i^2 = -1$。复数具有以下性质：
- 加法性质：$(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$
- 减法性质：$(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i$
- 乘法性质：$(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$
- 除法性质：$\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}$

## 1.2 复平面与复数表示
复平面是一种平面坐标系，将实部和虚部分别表示在水平轴和垂直轴上，因此每个复数可以在复平面上用一个点表示。复数的模表示复数到原点的距离，可以根据勾股定理计算得到：$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$。复数的论点表示复数与实轴正向的夹角，可以使用三角函数计算得到：$\arg(z) = \arctan{\frac{b}{a}}$。

## 1.3 复变函数的定义与性质
复变函数是定义域和值域均为复数的函数。复变函数的定义与实变函数类似，只是自变量和因变量都是复数。复变函数具有以下性质：
- 初等函数与复数运算的组合仍为复变函数
- 复变函数的极限与实变函数类似，分为无穷小极限和无穷大极限
- 复变函数的连续性与实变函数的连续性类似，也可以用$\varepsilon-\delta$语言描述
- 复变函数的可导性是复变函数独有的性质，与实变函数的可导性略有不同。一个复变函数可导意味着它在某一点附近的变化率是唯一确定的。

复变函数是复数数学中的重要概念，对于理解复数的运算、解析性与应用都有着重要意义。在接下来的章节中，我们将更深入地讨论复变函数的极限、连续性和可导性。

# 2. 复变函数的极限

在本章中，我们将深入探讨复变函数的极限概念、性质和计算方法。复变函数的极限是复分析中的基础概念，对理解复变函数的性质和行为具有重要意义。

#### 2.1 复变函数极限的概念
复变函数的极限定义类似于实变量函数的极限，但需要考虑复平面上的邻域。设$f(z)$是定义在某个复数域$D$上的函数，$z_0$是复平面上的点，则当$z$趋于$z_0$时，$f(z)$的极限为$w_0$，记作$\lim_{z \to z_0} f(z) = w_0$，当且仅当对于任意$\varepsilon > 0$，存在$\delta > 0$，使得当$0 < |z - z_0| < \delta$时，都有$|f(z) - w_0| < \varepsilon$成立。

#### 2.2 复变函数极限的性质
与实变量函数极限类似，复变函数极限也具有唯一性、局部有界性、局部保号性等性质。此外，复变函数极限还具有加法性、乘法性、夹逼定理等性质，这些性质在计算复变函数极限时起着重要作用。

#### 2.3 复变函数极限的计算方法
计算复变函数极限的方法有多种，常见的包括分离实部虚部、极坐标表示、级数展开等技巧。特别地，对于复变函数极限存在的不确定型$\infty$、$0 \cdot \infty$、$\infty - \infty$等情况，需要运用L'Hôpital法则等技巧进行转化求解。

在接下来的内容中，我们将详细讨论复变函数极限的各种性质和计算方法，并通过实例加深理解。

以上是第二章的目录，接下来我们将通过具体的例子来深入探讨复变函数极限的相关概念和性质。

# 3. 复变函数的连续性

## 3.1 复变函数的连续性概念

复变函数的连续性是指函数在定义域内的任意点都满足极限与函数值之间的关系。具体来说，设函数$f(z)$在$z_0$的某个领域内有定义，如果对于任意给定的$\epsilon>0$，存在一个$\delta>0$，使得当$|z-z_0|<\delta$时，有$|f(z)-f(z_0)|<\epsilon$，则称函数$f(z)$在$z_0$处连续。

## 3.2 复变函数的间断点

复变函数的间断点是指函数在某些点处不满足连续性的情况。根据间断点的性质，可以将其分为三类：

1. 可去间断点：若函数在某点处的极限存在且有限，但与函数在该点处的函数值不相等，称该点为可去间断点。

2. 跳跃间断点：若函数在某点处的左右极限存在且有限，但两个极限不相等，称该点为跳跃间断点。

3. 本质间断点：若函数在某点处的极限不存在或为无穷大，称该点为本质间断点。

## 3.3 复变函数的连续性与收敛性的关系

复变函数的