1、某单位负反馈系统的开环传递函数为G(s) = K s(0.2s+1) 。 （1） 试绘制出系统的根轨迹。 （2） 当开环增益 K=5 时，系统的类型是过阻尼、临界阻尼还是 欠阻尼？并求系统的动态性能指标。（𝜋𝜋 = 3.14，√3 = 1.732） （3） 确定系统稳定时开环增益 K 的取值范围，说明原因。 （4） 确定使得系统阻尼比𝜉𝜉 = 0.25时的 K 值。

(1) 根据根轨迹的定义，系统的根轨迹是由开环传递函数的极点随着 K 的变化而移动所形成的轨迹。首先，我们可以求出开环传递函数的极点：

s(0.2s+1)=0

得到极点为 s=0 和 s=-5。

然后，根据根轨迹的规律，当 K 从 0 到正无穷大变化时，根轨迹从左半平面出发，向右上方移动，最终到达左半平面的无穷远点。同时，当 K=0 时，根轨迹位于极点 s=0 和 s=-5 之间的实轴上，当 K→∞ 时，根轨迹趋近于垂直于实轴的直线。

综上所述，可以绘制出系统的根轨迹如下图所示：


(2) 当 K=5 时，系统的类型为过阻尼。根据系统的传递函数可以求得：

静态误差系数 Kp=lim s->0 G(s) = 1/5

系统的阻尼比 ζ=0.8/2√5=0.1782

系统的自然频率ωn=√(0.2)=0.4472

根据这些参数，可以求出系统的动态性能指标：

超调量Mp=exp(-πζ/√(1-ζ^2))=0.2298

峰值时间Tp=π/(ωn√(1-ζ^2))=2.8588

调节时间Tr=4/(ζωn)=8.9223

稳态误差为0。

(3) 由于系统的开环传递函数的极点位于左半平面，因此当 K>0 时，系统总是不稳定的。因此，系统没有稳定时开环增益 K 的取值范围。

(4) 当 ζ=0.25 时，系统的阻尼比已知，可以通过下面的公式求解 K：

ζ=0.8/2√(K*0.2)

解得 K=39.0625。

因此，使得系统阻尼比 ζ=0.25 时的 K 值为 39.0625。