灰色预测GM(1,1)模型原理公式推导
时间: 2024-02-03 22:03:13 浏览: 31
灰色预测(Grey prediction)是一种基于数据的预测方法,它适用于中小样本的预测问题,特别适用于非线性、非平稳、非高斯的系统。GM(1,1)模型是灰色预测的一种常用模型,它是一种一阶线性微分方程模型,适用于数据呈现指数增长或下降的情况。
GM(1,1)模型的基本思想是:将原始数据序列转化为一阶累加生成序列,然后对累加生成序列进行一次指数平滑,得到预测模型。具体来说,GM(1,1)模型的步骤如下:
1. 原始数据序列:$x^{(0)}=(x^{(0)}(1),x^{(0)}(2),...,x^{(0)}(n))$。
2. 对原始数据序列进行累加生成:$x^{(1)}=(x^{(1)}(1),x^{(1)}(2),...,x^{(1)}(n))$,其中$x^{(1)}(k)=\sum_{i=1}^{k}x^{(0)}(i)$,$k=1,2,...,n$。
3. 对累加生成序列进行一次指数平滑:$z^{(1)}=(z^{(1)}(1),z^{(1)}(2),...,z^{(1)}(n))$,其中$z^{(1)}(1)=x^{(1)}(1)$,$z^{(1)}(k)=(x^{(1)}(k-1)+x^{(1)}(k))/2$,$k=2,3,...,n$。
4. 对一次指数平滑序列进行反变换:$\hat{x}^{(0)}=(\hat{x}^{(0)}(1),\hat{x}^{(0)}(2),...,\hat{x}^{(0)}(n))$,其中$\hat{x}^{(0)}(k)=x^{(0)}(1)-\sum_{i=1}^{k-1}(z^{(1)}(i+1)-z^{(1)}(i))$,$k=1,2,...,n$。
5. 得到预测值$\hat{x}^{(0)}(n+1)$,即为GM(1,1)模型的预测值。
GM(1,1)模型的公式推导如下:
设原始数据序列为$x^{(0)}=(x^{(0)}(1),x^{(0)}(2),...,x^{(0)}(n))$,对其进行一次累加生成得到$x^{(1)}=(x^{(1)}(1),x^{(1)}(2),...,x^{(1)}(n))$,其中$x^{(1)}(k)=\sum_{i=1}^{k}x^{(0)}(i)$,$k=1,2,...,n$。
由于$x^{(1)}$是一个等差数列,所以可以用一次函数$ax+b$进行拟合,即$x^{(1)}(k)=ak+b$,$k=1,2,...,n$。
根据$x^{(1)}$的定义,有$x^{(1)}(1)=x^{(0)}(1)$,即$a+b=x^{(0)}(1)$。又因为$x^{(1)}(n)=\sum_{i=1}^{n}x^{(0)}(i)$,所以$an+b=\sum_{i=1}^{n}x^{(0)}(i)$。
两式相减得到$a(x^{(1)}(n)-x^{(1)}(1))=\sum_{i=1}^{n}x^{(0)}(i)-x^{(0)}(1)$,即$a\Delta x^{(1)}=\sum_{i=1}^{n}\Delta x^{(0)}(i)$,其中$\Delta x^{(0)}(i)=x^{(0)}(i)-x^{(0)}(1)$。
因此,$a$和$b$可以用以下公式计算:
$$
a=\frac{\sum_{i=1}^{n}\Delta x^{(0)}(i)}{\Delta x^{(1)}}\quad b=x^{(0)}(1)-a
$$
对$x^{(1)}$进行一次指数平滑得到$z^{(1)}=(z^{(1)}(1),z^{(1)}(2),...,z^{(1)}(n))$,其中$z^{(1)}(1)=x^{(1)}(1)$,$z^{(1)}(k)=(x^{(1)}(k-1)+x^{(1)}(k))/2$,$k=2,3,...,n$。
对$z^{(1)}$进行反变换得到$\hat{x}^{(0)}=(\hat{x}^{(0)}(1),\hat{x}^{(0)}(2),...,\hat{x}^{(0)}(n))$,其中$\hat{x}^{(0)}(k)=x^{(0)}(1)-\sum_{i=1}^{k-1}(z^{(1)}(i+1)-z^{(1)}(i))$,$k=1,2,...,n$。
最后,预测值$\hat{x}^{(0)}(n+1)$可以用以下公式计算:
$$
\hat{x}^{(0)}(n+1)=(x^{(0)}(1)-b/a)e^{-a}+b/a
$$
以上就是GM(1,1)模型的原理公式推导。