高斯消去的迭代改善法

高斯消元法是解线性方程组的经典方法，但当系数矩阵A的条件数很大时，会导致误差放大，解的精度下降。而高斯消元的迭代改善法，是通过不断迭代来逐步逼近精确解，从而提高解的精度。

高斯消元的迭代改善法包括以下步骤：

1. 对于线性方程组Ax = b，将系数矩阵A分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U，即 A = LU。

2. 假设初始迭代结果为x0，将Ax0 = b转化为 Lx = b - Ux0，即 x = L^(-1)(b-Ux0)。

3. 通过不断迭代，逐步逼近精确解。假设第k次迭代的结果为xk，则有 x(k+1) = L^(-1)(b-Uxk)。

4. 计算每次迭代的误差，如果满足精度要求，即可停止迭代。

以下是高斯消元的迭代改善法的C++代码实现：

#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;

const int N = 3;    // 矩阵大小
const double eps = 1e-6;    // 精度要求

void GaussSeidel(double a[][N+1], double x[]) {
    double t[N];    // 保存每次迭代的结果
    double L[N][N] = {0};    // 下三角矩阵
    double U[N][N] = {0};    // 上三角矩阵
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        L[i][i] = 1;
    }
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        for (int j = 0; j < N; j++) {
            if (i <= j) {
                double tmp = 0;
                for (int k = 0; k < i; k++) {
                    tmp += L[i][k] * U[k][j];
                }
                U[i][j] = a[i][j] - tmp;
            } else {
                double tmp = 0;
                for (int k = 0; k < j; k++) {
                    tmp += L[i][k] * U[k][j];
                }
                L[i][j] = (a[i][j] - tmp) / U[j][j];
            }
        }
    }
    int cnt = 0;    // 迭代次数计数器
    while (true) {
        cnt++;
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            double tmp = a[i][N];
            for (int j = 0; j < N; j++) {
                if (j <= i) {
                    tmp -= L[i][j] * t[j];
                } else {
                    tmp -= U[i][j] * x[j];
                }
            }
            t[i] = tmp / L[i][i];    // 更新迭代结果
        }
        double maxdiff = 0;    // 计算本次迭代与上一次迭代之间的最大差值
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            if (fabs(t[i] - x[i]) > maxdiff) {
                maxdiff = fabs(t[i] - x[i]);
            }
            x[i] = t[i];    // 更新x数组
        }
        if (maxdiff < eps) {    // 精度要求满足，退出迭代
            break;
        }
    }
    cout << "迭代次数：" << cnt << endl;
}

int main() {
    double a[N][N+1] = {{1, 1, 1, 1.5},
                        {1, 1.0001, 1.0002, 2},
                        {1, 1.0002, 1.0004, 3}};
    double x[N] = {0};    // 初始迭代结果
    GaussSeidel(a, x);
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        cout << "x[" << i << "] = " << x[i] << endl;
    }
    return 0;
}

在代码中，先通过高斯消元法计算出系数矩阵的下三角矩阵L和上三角矩阵U，然后使用迭代法逐步逼近精确解。在每次迭代中，都计算本次迭代与上一次迭代之间的最大差值，如果满足精度要求，则退出迭代。

以上代码仅供参考，具体实现可能需要根据实际情况进行调整。