设问题规模为N时，某递归算法的时间复杂度记为T(N)，已知T(1)=1，T(N)=2T(N/2)+N/2,用0表示的时间复杂度为( )。

可以使用主定理（Master Theorem）来解决此类问题。根据主定理，递归算法的时间复杂度可以表示为：

T(N) = aT(N/b) + f(N)

其中，a是递归调用的次数，b是问题规模缩小的比例，f(N)是除了递归调用以外的其他操作的时间复杂度。

根据题目给出的递归式，a=2，b=2，f(N)=N/2。因为log2(2)=1，所以我们可以得到：

f(N) = N/2 = Θ(N^1)

根据主定理，递归算法的时间复杂度为：

T(N) = Θ(N^log2(2)) = Θ(N)

因此，用0表示的时间复杂度为 Θ(N)。

相关问题

4.假设直线上有7个点，这些点的坐标分别为5416-359。现在要求使用长度为3的区间对这些点进行覆盖。试给出一种覆盖方案，使得所使用的区间数量最少。 已知某递归算法运行时间的递归表达式为 O(1),n=1 T(n)= 2r(“)+0(1),n>1 试分析该算法的时间复杂度。

答案：

对于第一个问题，这是一道算法题，需要使用贪心算法来解决。我们先将所有坐标按照从小到大的顺序排序，然后从左往右依次选择区间，每次选择可以覆盖当前点和下两个点的区间，直到所有点都被覆盖。这种方法可以保证使用的区间数量最少，时间复杂度为 O(nlogn)。

对于第二个问题，由于递归表达式为 T(n)=2r(“) 0(1)，可以得知该算法的递归深度为 logn，而每层的运行时间都是 O(1)，因此总的时间复杂度为 O(logn)。

作业1：(对应算法基础部分，25分) (1)证明O(f)O(g)=O(fg) (2)已知T(n)=2T(n/2)+nlog₂n,且T(1)=1,用拓展递归求T(n)的时间复杂度。

(1) 证明O(f)O(g)=O(fg)：

我们需要证明对于任意的函数f(n)，g(n)，总存在一个常数C和一个正整数N，使得当n>N时，有f(n)g(n)<=Cf(n)g(n)。

假设当n>N时，f(n)<=C1g(n)，g(n)<=C2f(n)，那么f(n)g(n)<=C1C2f(n)g(n)，即可得证。

因此，O(f)O(g)=O(fg)。

(2) 已知T(n)=2T(n/2)+nlog₂n，且T(1)=1，用拓展递归求T(n)的时间复杂度：

我们可以使用拓展递归展开的方法来求解递归式T(n) = 2T(n/2) + nlog₂n。

首先，我们将递归式展开成如下形式：

T(n) = 2T(n/2) + nlog₂n

= 2(2T(n/4) + (n/2)log₂(n/2)) + nlog₂n

= 2^2T(n/4) + nlog₂n

+ nlog₂(n/2)

= 2^2(2T(n/8) + (n/4)log₂(n/4)) + nlog₂n

+ nlog₂(n/2)

= 2^3T(n/8) + nlog₂n

+ nlog₂(n/2)

+ nlog₂(n/4)

= ...

= 2^kT(n/2^k) + nlog₂n

+ nlog₂(n/2)

+ nlog₂(n/4)

+ ...

+ nlog₂(n/2^k)

当n/2^k = 1时，即k = log₂n，所以：

T(n) = 2^log₂nT(1) + nlog₂nlog₂n

+ nlog₂(n/2)

+ nlog₂(n/4)

+ ...

+ nlog₂(n/2^(log₂n))

= n + nlog₂nlog₂n

因此，T(n)的时间复杂度为O(nlog₂nlog₂n)。