详细介绍yolov3模型损失函数中的坐标损失

YOLOv3（You Only Look Once version 3）是一种常用的物体检测模型，其损失函数的设计是其性能的重要因素之一。在YOLOv3的损失函数中，坐标损失（coordinate loss）用于衡量预测框的位置和大小与真实框之间的差异。

在YOLOv3中，每个网格单元预测3个不同大小的边界框，每个边界框由5个值描述：x、y、w、h和置信度（confidence）。其中，x和y分别表示框中心点的坐标，w和h分别表示框的宽度和高度，置信度则表示该框中是否有物体存在。因此，每个网格单元的预测输出为：

$$
\begin{aligned}
&\text{Pr}(Object) \times \text{IoU}_{pred}^{truth} \\
&\text{Box}_{1}: x_1, y_1, w_1, h_1 \\
&\text{Box}_{2}: x_2, y_2, w_2, h_2 \\
&\text{Box}_{3}: x_3, y_3, w_3, h_3
\end{aligned}
$$

其中，$\text{Pr}(Object)$表示该网格单元是否包含物体，$\text{IoU}_{pred}^{truth}$表示预测框与真实框之间的交并比。在训练过程中，我们需要将预测框的坐标和大小与真实框进行比较，并计算坐标损失，以便更新模型参数。

YOLOv3的坐标损失是由预测框的中心坐标误差和宽高的均方根误差（RMSE）组成的。具体而言，对于每个预测框，我们定义一个二元组$(t_x, t_y)$表示预测框中心点相对于所在网格单元左上角的偏移量，以及一个二元组$(t_w, t_h)$表示预测框宽度和高度相对于先验框的比例系数。坐标损失的计算公式如下：

$$
\begin{aligned}
&\lambda_{coord}\sum_{i=0}^{S^2}\sum_{j=0}^{B}\mathbb{1}_{ij}^{obj}\Big[(t_{x}^{ij}-\hat{t}_{x}^{ij})^{2}+(t_{y}^{ij}-\hat{t}_{y}^{ij})^{2}\Big] \\
&+\lambda_{coord}\sum_{i=0}^{S^2}\sum_{j=0}^{B}\mathbb{1}_{ij}^{obj}\Big[(\sqrt{t_{w}^{ij}}-\sqrt{\hat{t}_{w}^{ij}})^{2}+(\sqrt{t_{h}^{ij}}-\sqrt{\hat{t}_{h}^{ij}})^{2}\Big]
\end{aligned}
$$

其中，