最小二乘法支持向量机实例

假设我们有一个二元分类问题，样本点为$(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)$，其中$x_i\in R^m$，$y_i\in\{-1,1\}$。我们的目标是使用最小二乘法支持向量机来构建分类器。

首先，我们需要将分类问题转化为一个最小二乘法优化问题。假设我们的分类器为$f(x)=\text{sign}(w^Tx+b)$，则分类问题可以表示为以下最小化目标函数的优化问题：

$$\min_{w,b,\xi}\frac{1}{2}w^Tw+C\sum_{i=1}^n\xi_i$$

$$\text{s.t. }y_i(w^Tx_i+b)\geq 1-\xi_i,\xi_i\geq 0,i=1,...,n$$

其中，$C$是一个正则化参数，$\xi_i$是一个松弛变量，用于允许某些样本点在不满足约束条件时仍然能够被正确分类。

接下来，我们可以使用拉格朗日乘子法来求解上述优化问题。我们将约束条件重新表示为：

$$y_i(w^Tx_i+b)-1+\xi_i\geq 0,\forall i=1,...,n$$

然后，我们可以构建拉格朗日函数：

$$L(w,b,\xi,\alpha,\mu)=\frac{1}{2}w^Tw+C\sum_{i=1}^n\xi_i-\sum_{i=1}^n\alpha_i[y_i(w^Tx_i+b)-1+\xi_i]-\sum_{i=1}^n\mu_i\xi_i$$

其中，$\alpha_i\geq 0$和$\mu_i\geq 0$是拉格朗日乘子。我们可以通过求解以下问题来最小化$L(w,b,\xi,\alpha,\mu)$：

$$\min_{w,b,\xi}\max_{\alpha,\mu}\ L(w,b,\xi,\alpha,\mu)$$

为了求解上述问题，我们需要先对$L(w,b,\xi,\alpha,\mu)$分别对$w$，$b$和$\xi_i$求偏导，并令它们等于0。我们可以得到以下等式：

$$w=\sum_{i=1}^n\alpha_iy_ix_i$$

$$\sum_{i=1}^n\alpha_iy_i=0$$

$$C-\alpha_i-\mu_i=0,\forall i=1,...,n$$

将以上等式代入$L(w,b,\xi,\alpha,\mu)$中，我们可以得到一个只与$\alpha$相关的式子：

$$\begin{aligned}L(w,b,\xi,\alpha,\mu)&=\frac{1}{2}w^Tw+C\sum_{i=1}^n\xi_i-\sum_{i=1}^n\alpha_i[y_i(w^Tx_i+b)-1+\xi_i]-\sum_{i=1}^n\mu_i\xi_i\\&=\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^n\alpha_i\alpha_jy_iy_jx_i^Tx_j+\sum_{i=1}^n\alpha_i-\sum_{i=1}^n\alpha_iy_i(b+\sum_{j=1}^n\alpha_jy_jx_j^Tx_i-1)-\sum_{i=1}^n(C-\alpha_i-\mu_i)\xi_i\\&=\sum_{i=1}^n\alpha_i-\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^n\alpha_i\alpha_jy_iy_jx_i^Tx_j-b\sum_{i=1}^n\alpha_iy_i\end{aligned}$$

因此，我们的优化问题可以表示为：

$$\begin{aligned}\max_\alpha&\ \sum_{i=1}^n\alpha_i-\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^n\alpha_i\alpha_jy_iy_jx_i^Tx_j\\s.t.&\ \sum_{i=1}^n\alpha_iy_i=0\\&\ 0\leq\alpha_i\leq C,i=1,...,n\end{aligned}$$

这是一个二次规划问题，可以使用Python的cvxopt库来求解。最终，我们得到的分类器为：

$$f(x)=\text{sign}\Big(\sum_{i=1}^n\alpha_iy_ix_i^Tx+b\Big)$$

其中，$\alpha_i$是通过求解二次规划问题得到的拉格朗日乘子。