$\lambda_i = \frac{1}{i} \sum_{j=1}^{i} \ln \frac{d_j}{d_0}$以上表述中这段公式中的符号含义是什么

在这段公式中，符号的含义如下：

- $\lambda_i$：表示前 $i$ 个奇异值的加权平均数；
- $d_j$：表示矩阵的第 $j$ 个奇异值；
- $d_0$：表示所有奇异值的几何平均数，即$d_0 = (d_1 d_2 \cdots d_n)^{\frac{1}{n}}$，其中$n$为矩阵的秩。

相关问题

建立一个MISO信道，在中断概率的约束下求解最大信道安全传输速率， 凸优化后进行波束赋形，编写matlab代码

首先，我们需要定义一些符号和参数：

- $P_s$：发送端的信号功率
- $P_n$：信道中的噪声功率
- $h$：信道增益
- $p_i$：第 $i$ 个天线的发射功率
- $w_j$：第 $j$ 个接收天线的接收权重
- $M$：天线数量
- $N$：噪声功率谱密度
- $\epsilon$：中断概率

接下来，我们可以列出 MISO 信道的信噪比（SNR）：

$$
\mathrm{SNR} = \frac{h^2 \sum_{i=1}^M p_i}{P_n}
$$

我们可以将信噪比与中断概率联系起来，得到：

$$
\mathrm{SNR} \geq \frac{\ln \left( \frac{1}{1-\epsilon} \right)}{\epsilon}
$$

我们的目标是最大化信道安全传输速率 $R_s$，其中：

$$
R_s = \log_2 \left( 1 + \mathrm{SNR} \right)
$$

因此，我们的问题可以表述为：

$$
\begin{aligned}
& \underset{p_i, w_j}{\max}
& & R_s \\
& \text{s.t.}
& & \mathrm{SNR} \geq \frac{\ln \left( \frac{1}{1-\epsilon} \right)}{\epsilon} \\
& & & \sum_{i=1}^M p_i \leq P_s \\
& & & \|w\|^2 \leq 1
\end{aligned}
$$

其中，$\|w\|^2 = \sum_{j=1}^M |w_j|^2$。

我们可以使用凸优化来解决这个问题。首先，我们将目标函数 $R_s$ 转换为一个凸函数：

$$
R_s = \log_2 \left( 1 + \mathrm{SNR} \right) = \log_2 \left( 1 + \frac{h^2 \sum_{i=1}^M p_i}{P_n} \right)
$$

然后，我们可以使用拉格朗日乘子法，将约束条件转换为拉格朗日函数：

$$
\begin{aligned}
L(p_i, w_j, \lambda_1, \lambda_2) & = \log_2 \left( 1 + \frac{h^2 \sum_{i=1}^M p_i}{P_n} \right) \\
& + \lambda_1 \left( \sum_{i=1}^M p_i - P_s \right) \\
& + \lambda_2 \left( \|w\|^2 - 1 \right) \\
& - \lambda_3 \left( \mathrm{SNR} - \frac{\ln \left( \frac{1}{1-\epsilon} \right)}{\epsilon} \right)
\end{aligned}
$$

其中，$\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 是对应于功率约束和波束赋形约束的拉格朗日乘子，$\lambda_3$ 是对应于信噪比约束的拉格朗日乘子。

然后，我们需要求解这个拉格朗日函数的梯度，得到最优解：

$$
\begin{aligned}
\frac{\partial L}{\partial p_i} & = \frac{h^2}{\ln 2 P_n \left( 1 + \mathrm{SNR} \right)} - \lambda_1 = 0 \\
\frac{\partial L}{\partial w_j^*} & = \frac{h^2 p_j}{\ln 2 P_n \left( 1 + \mathrm{SNR} \right)} w_j - \lambda_2 w_j = 0 \\
\frac{\partial L}{\partial \mathrm{SNR}} & = \frac{h^2}{\ln 2 P_n \left( 1 + \mathrm{SNR} \right)^2} - \frac{\lambda_3}{\epsilon} = 0 \\
\end{aligned}
$$

通过求解上述方程组，我们可以得到 $p_i$ 和 $w_j$ 的最优解。然后，我们可以使用 Matlab 编写代码来实现该算法。

matlab求服从泊松分布的参数极大似然估计值

假设 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，$x_1, x_2, \dots, x_n$ 是 $n$ 个独立同分布的样本观测值。则 $X$ 的概率质量函数为：

$$
P(X = x) = \frac{\lambda^x}{x!} e^{-\lambda}
$$

样本的似然函数为：

$$
L(\lambda; x_1, x_2, \dots, x_n) = \prod_{i=1}^n \frac{\lambda^{x_i}}{x_i!} e^{-\lambda} = \frac{\lambda^{\sum_{i=1}^n x_i}}{\prod_{i=1}^n x_i!} e^{-n\lambda}
$$

对似然函数取对数，得到对数似然函数：

$$
\ln L(\lambda; x_1, x_2, \dots, x_n) = \left(\sum_{i=1}^n x_i \right) \ln \lambda - n\lambda - \sum_{i=1}^n \ln x_i!
$$

对对数似然函数求导，得到：

$$
\frac{\partial}{\partial \lambda} \ln L(\lambda; x_1, x_2, \dots, x_n) = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{\lambda} - n
$$

令导数等于零，解得极大似然估计值为：

$$
\hat{\lambda} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i
$$

即为样本的均值。因此，MATLAB 求服从泊松分布的参数 $\lambda$ 的极大似然估计值的代码如下：

% 样本数据
x = [2, 1, 0, 3, 1, 2, 1, 0, 4, 2];

% 极大似然估计
lambda_ml = mean(x);

% 输出结果
disp(['极大似然估计值为：', num2str(lambda_ml)]);

其中，样本数据为 $x = [2, 1, 0, 3, 1, 2, 1, 0, 4, 2]$，极大似然估计值为样本的均值，即 $\hat{\lambda} = \frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} x_i$。