假定控制附加噪声的噪声模型是指数分布。也就是说, 写出模型下数据的负对数似然。 请试着写出解析解。 提出一种随机梯度下降算法来解决这个问题。哪里可能出错?(提示:当我们不断更新参数时,在驻点附近会发生什么情况)请尝试解决这个问题。
时间: 2024-05-22 17:10:36 浏览: 9
模型下数据的负对数似然为:$-\sum_{i=1}^{n} \ln \lambda e^{-\lambda x_i} = -\sum_{i=1}^{n} \ln \lambda - \lambda x_i$
其中,$\lambda$ 是指数分布的参数,$x_i$ 是第 $i$ 个数据点。
对于随机梯度下降算法,每次迭代更新的参数为:
$\theta_{t+1} = \theta_t - \eta_t \nabla_{\theta_t} \ln p(y_t | x_t; \theta_t)$
其中,$\theta_t$ 表示第 $t$ 次迭代的参数,$\eta_t$ 是学习率(步长),$y_t$ 和 $x_t$ 分别表示第 $t$ 个训练样本的标签和特征,$p(y_t | x_t; \theta_t)$ 是模型在给定参数 $\theta_t$ 和输入 $x_t$ 的条件下预测 $y_t$ 的概率。
对于指数分布的负对数似然,其梯度为:
$\nabla_{\lambda} (-\ln p(y | x; \lambda)) = \frac{n}{\lambda} - \sum_{i=1}^{n} x_i$
因此,每次迭代更新的公式为:
$\lambda_{t+1} = \lambda_t - \eta_t \left( \frac{n}{\lambda_t} - \sum_{i=1}^{n} x_i \right)$
当我们不断更新参数时,在驻点附近可能会出现梯度消失或梯度爆炸的问题。为了解决这个问题,可以采用自适应学习率算法,如 Adam 算法,来动态地调整学习率。此外,还可以使用更稳定的优化算法,如牛顿法或拟牛顿法,来加速收敛并避免出现梯度消失或梯度爆炸的问题。