c语言编写第一个关节为回转关节、第二和第三关节为旋转关节的3自由度机器人运动学逆解算法

在编写这个算法之前，我们需要了解一些基本知识。机器人的运动学可以分为正解和逆解两种。正解是给定机器人的关节角度和长度，求出末端执行器的位置和姿态；而逆解则是已知末端执行器的位置和姿态，求出各个关节的角度和长度。

在这个问题中，我们需要编写3自由度机器人的运动学逆解算法，其中第一个关节为回转关节，第二和第三关节为旋转关节。我们可以采用以下步骤：

1. 确定DH参数，即确定机器人各个关节的坐标系、关节长度、关节角度等参数。
2. 根据DH参数，求出机器人的正运动学矩阵。
3. 根据末端执行器的位置和姿态，求出机器人的逆运动学矩阵。
4. 根据逆运动学矩阵，求出各个关节的角度和长度。

具体实现过程如下：

1. DH参数：根据机器人的结构和运动方式，我们可以确定各个关节的坐标系、关节长度、关节角度等参数。假设我们的机器人三个关节的DH参数如下：

| i | alpha(i-1) | a(i-1) | d(i) | theta(i) |
|:-:|:-----------:|:-------:|:------:|:--------:|
| 1 | 0 | 0 | L1 | q1 |
| 2 | pi/2 | L2 | 0 | q2 |
| 3 | 0 | L3 | 0 | q3 |

其中，alpha(i-1)表示第i个坐标系绕第i-1个坐标系的x轴旋转的角度；a(i-1)表示第i-1个坐标系在第i个坐标系的x轴上的投影长度；d(i)表示第i个坐标系在第i-1个坐标系的z轴上的投影长度；theta(i)表示第i个关节绕第i个坐标系的z轴旋转的角度。

2. 正运动学矩阵：根据DH参数，我们可以求出机器人的正运动学矩阵，即将各个坐标系的变换矩阵相乘得到的矩阵。具体实现过程如下：

L1 = 1.0; // 关节1的长度
L2 = 1.0; // 关节2的长度
L3 = 1.0; // 关节3的长度

// DH参数
alpha = [0.0, pi/2, 0.0];
a = [0.0, L2, L3];
d = [L1, 0.0, 0.0];

// 正运动学矩阵
T01 = DH(alpha[0], a[0], d[0], q[0]);
T12 = DH(alpha[1], a[1], d[1], q[1]);
T23 = DH(alpha[2], a[2], d[2], q[2]);
T02 = T01.dot(T12);
T03 = T02.dot(T23);

其中，DH函数用于计算一个坐标系相对于上一个坐标系的变换矩阵，具体实现如下：

def DH(alpha, a, d, q):
    # alpha: 绕x轴旋转的角度
    # a: 绕z轴平移的距离
    # d: 绕x轴平移的距离
    # q: 绕z轴旋转的角度
    ct = np.cos(q)
    st = np.sin(q)
    ca = np.cos(alpha)
    sa = np.sin(alpha)
    T = np.array([[ct, -st*ca, st*sa, a*ct],
                  [st, ct*ca, -ct*sa, a*st],
                  [0, sa, ca, d],
                  [0, 0, 0, 1]])
    return T

3. 逆运动学矩阵：根据末端执行器的位置和姿态，我们可以求出机器人的逆运动学矩阵，即求解各个关节的角度和长度。具体实现过程如下：

def IK(T):
    # T: 末端执行器的正运动学矩阵
    L1 = 1.0; # 关节1的长度
    L2 = 1.0; # 关节2的长度
    L3 = 1.0; # 关节3的长度
    d3 = 0.0; # 关节3的z轴偏移量

    # 求解theta1
    x = T[0, 3]
    y = T[1, 3]
    theta1 = np.arctan2(y, x)

    # 求解theta2和theta3
    r = np.sqrt(x**2 + y**2)
    s = T[2, 3] - d3
    D = (r**2 + s**2 - L2**2 - L3**2) / (2*L2*L3)
    theta3 = np.arctan2(np.sqrt(1-D**2), D)
    theta2 = np.arctan2(s, r) - np.arctan2(L3*np.sin(theta3), L2+L3*np.cos(theta3))

    # 将角度转换为弧度
    theta1 = np.deg2rad(theta1)
    theta2 = np.deg2rad(theta2)
    theta3 = np.deg2rad(theta3)

    return [theta1, theta2, theta3]

其中，IK函数用于计算逆运动学矩阵，具体实现如下：

4. 最后，我们可以调用上面的函数，计算出机器人各个关节的角度和长度：

# 末端执行器的位置和姿态
x = 1.0
y = 2.0
z = 3.0
rx = 0.0
ry = 0.0
rz = 0.0

# 构造正运动学矩阵
T = np.array([[np.cos(rz)*np.cos(ry), np.sin(rz)*np.cos(rx) + np.cos(rz)*np.sin(ry)*np.sin(rx), np.sin(rz)*np.sin(rx) - np.cos(rz)*np.sin(ry)*np.cos(rx), x],
              [-np.sin(rz)*np.cos(ry), np.cos(rz)*np.cos(rx) - np.sin(rz)*np.sin(ry)*np.sin(rx), np.cos(rz)*np.sin(rx) + np.sin(rz)*np.sin(ry)*np.cos(rx), y],
              [np.sin(ry), -np.cos(ry)*np.sin(rx), np.cos(ry)*np.cos(rx), z],
              [0, 0, 0, 1]])

# 计算逆运动学
q = IK(T)