矩形分割。出于某些方面的需求,我们要把一块n×m的木板切成一个个1×1的小方块。对于一块木板,我们只能从某条横线或者某条竖线(要在方格线上),而且这木板是不均匀的,从不同的线切割下去要花不同的代价。而
时间: 2023-05-31 21:18:24 浏览: 154
### 回答1:
这是一个关于矩形分割的问题。根据某些方面的需求,我们要把一个n×m的木板切成一个个1×1的小方块。对于一个块木板,我们只能从某条横线或者某条竖线(要在格线上)下去切割,而且要保证切割后得到的木板不是不平均的,从不同的线切下去的代价也不同。
### 回答2:
我们希望使得最终的所有小方块的代价之和最小。这个问题可以用动态规划算法来解决。
首先考虑木板的横向切割。定义一个二维数组dp[i][j]表示将从第i行到第j行的部分木板切成小方块的最小代价。当i=j时,说明只有一行,无需切割,代价为0。当i<j时,假设我们选择在第k行进行切割,则最小代价为dp[i][k]+dp[k+1][j]+第i到第j行的木板的代价之和。为了求出每一行到每一行的木板代价之和,我们可以在预处理时用一个前缀和sum[i][j]表示从第1行到第i行,从第j列到第m列的木板代价之和。具体地,sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+第i行第j列的木板代价。因此,第i到第j行的木板代价之和为sum[j][m]-sum[i-1][m]-sum[j][0]+sum[i-1][0]。最后的答案即为dp[1][n]。
接下来考虑竖向切割。同样地,定义一个二维数组dp[i][j]表示将从第i列到第j列的部分木板切成小方块的最小代价。当i=j时,代价为0。当i<j时,假设我们选择在第k列进行切割,则最小代价为dp[i][k]+dp[k+1][j]+第i到第j列的木板的代价之和。为了求出每一列到每一列的木板代价之和,可以先将整个木板逆时针旋转90度,然后按照之前的方法进行计算,最后再将答案逆时针旋转90度。
总的时间复杂度为O(n^3),可以通过本题。
### 回答3:
我们的目标是最小化这个代价,使得木板被分割成1×1的小方块。这种问题就叫做矩形分割。
矩形分割问题实质上就是一道动态规划问题。我们可以先定义一个二维数组f[i, j],表示将i列j行的矩形分割成1×1的小方块所需要的最小代价。同时,我们还需要定义一个代价数组c[i, j],表示从第i条竖线或第j条横线切割下去所需要的代价。
根据问题描述,我们可以得出f[i, j]的转移方程如下:
f[i, j] = min{f[i-1, j]+c[i, j], f[i, j-1]+c[i, j]}
其中,f[i-1, j]表示将i-1列j行的矩形分割成小方块后所需要的最小代价,f[i, j-1]表示将i列j-1行的矩形分割成小方块后所需要的最小代价,c[i, j]表示从第i条竖线或第j条横线切割下去所需要的代价。因此,f[i, j]就是这两个值中的较小值加上c[i, j]。
最终,我们就可以得出将整块n×m的矩形分割成1×1小方块的最小代价,即f[n, m]。这个问题虽然看起来比较简单,但是要写出正确的代码还是有一定难度的。因此,需要我们多加练习,积累经验。