证明当限制跟在量词后面的那部分公式是合取范式时,TQBF仍是PSPACE完全的
时间: 2024-06-02 17:09:48 浏览: 9
首先,我们需要了解以下两个定义:
- 量词前缀:一个布尔公式的最长前缀,该前缀只包含全称量词和存在量词。
- 合取范式:一个布尔公式,其中所有的量词前缀都出现在合取项之前。
现在,假设我们有一个TQBF公式,它的限制部分是一个合取范式。我们可以使用以下步骤将其转换为一个PSPACE完全问题:
1. 将合取范式转换为合取范式的析取范式(DNF)。这可以通过将每个合取子句中的存在量词移到前面来完成。
2. 将存在量词限制为一个元素,这可以通过将每个存在量词前缀中的所有量词替换为一个元素的量词来完成。
3. 将所有全称量词限制为所有元素的排列,这可以通过将每个全称量词前缀中的所有量词替换为所有元素的排列的量词来完成。
4. 将TQBF问题转换为一个游戏,其中两个玩家轮流选择元素,并对于每个元素,询问另一个玩家是否满足给定的析取子句。
5. 使用PSPACE完全的量子游戏算法,例如Kitaev算法,来解决这个游戏问题。
因此,我们可以看到当限制跟在量词后面的那部分公式是合取范式时,TQBF仍是PSPACE完全的。
相关问题
将谓词公式转化为合取样式
谓词公式是一个包含谓词符号和量词的表达式,通常表示为∀x P(x)或∃x P(x),其中x是一个变量,P(x)是一个包含该变量的命题。合取样式是一个由多个命题通过逻辑连接词“并”组成的表达式。将谓词公式转化为合取样式的方法是:
1. 将所有的量词移到公式的最前面,并且改变公式的语法结构。对于∀x P(x),可以根据逆否命题变形成为¬∃x ¬P(x)的形式;对于∃x P(x),可以根据逆否命题变形成为¬∀x ¬P(x)的形式。
2. 对于每个谓词P(x),构造一个命题Qi,表示P(x)为真的所有情况。例如,如果P(x)表示“x是奇数”,那么命题Qi可以表示为“x是1、3、5、7、9等等奇数”。
3. 将所有的命题Qi连接成一个合取样式,用“并”连接。例如,对于两个命题Qi和Qj,它们可以连接成(Qi 并且 Qj)的形式。
4. 最后,将量词和命题Qi代入公式中,得到一个等价的合取样式。
举个例子,将∀x (P(x) ∧ Q(x))转化为合取样式:
1. 对于∀x (P(x) ∧ Q(x)),变形为¬∃x ¬(P(x) ∧ Q(x))。
2. 构造命题Q1表示“在所有满足P(x)和Q(x)的情况下,x是1的情况”,Q2表示“在所有满足P(x)和Q(x)的情况下,x是2的情况”,以此类推。
3. 将所有命题Qi用“并”连接,得到(Q1 并且 Q2 并且 … 并且 Qn)。
4. 代入量词和Qi,得到((P(1) ∧ Q(1)) 并且 (P(2) ∧ Q(2)) 并且 … 并且 (P(n) ∧ Q(n)))的合取样式。
因此,∀x (P(x) ∧ Q(x))的合取样式为(P(1) ∧ Q(1)) 并且 (P(2) ∧ Q(2)) 并且 … 并且 (P(n) ∧ Q(n))。
将谓词公式字符串改为合取样式代码
谓词公式字符串到合取样式的转换需要考虑到谓词逻辑中量词存在和全称的特点,需要利用量词的取反来表示全称量词,用复合命题符号代替谓词符号。以下是一个可能的转换示例:
假设原始谓词公式字符串为:
```
∀x(P(x) ∧ Q(x)) ∨ ∃y(R(y))
```
则可以将其转换为以下合取样式代码:
```
def P(x):
pass # 在这里填入谓词P的定义代码
def Q(x):
pass # 在这里填入谓词Q的定义代码
def R(y):
pass # 在这里填入谓词R的定义代码
def translate(formula):
if formula.type == 'universal':
inner_formula = formula.inner_formula
parameter = inner_formula.parameter
body = translate(inner_formula.body)
return all([body for parameter in parameters])
elif formula.type == 'existential':
inner_formula = formula.inner_formula
parameter = inner_formula.parameter
body = translate(inner_formula.body)
return any([body for parameter in parameters])
elif formula.type == 'atomic':
predicate = globals()[formula.predicate]
args = formula.args
return predicate(*args)
elif formula.type == 'negation':
inner_formula = formula.inner_formula
body = translate(inner_formula)
return not body
elif formula.type == 'conjunction':
left = formula.left
right = formula.right
left_body = translate(left)
right_body = translate(right)
return left_body and right_body
elif formula.type == 'disjunction':
left = formula.left
right = formula.right
left_body = translate(left)
right_body = translate(right)
return left_body or right_body
```
其中,`translate`函数是一个递归函数,根据输入的谓词公式字符串中的不同逻辑符号类型,返回不同的复合命题符号。比如,如果是量词公式,则返回对应的全称量词和存在量词的逻辑符号。如果是原子公式,则调用对应的谓词函数并返回其结果。如果是否定、合取或析取公式,则根据逻辑运算符的特点返回相应的复合命题。
注意,在实际代码实现中,需要考虑到更多的细节问题,比如如何维护参数的作用域、如何处理量词的变量绑定等等。
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