∂T/ ∂t = μ( ∂^ 2T/ ∂x^ 2 + ∂^ 2T/ ∂y ^2 ), μ > 0, x ∈ [−L,L], y ∈ [−L,L], T ∈ [0, +∞) T(x, −L,t) = 0, T(x,L,t) = 0 T(−L, y,t) = 0, T(L, y,t) = 0 T(x, y, 0) = A exp(−a(x^ 2 + y^ 2 ))使⽤有限差分法求解在t ∈ [0, Tn]中的典型时刻的T (x, y, t)分布。

好的，这是一个有关 Python 实现有限差分法求解二维热传导方程的问题。以下是一个简单的代码示例：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# 设置参数
mu = 1
L = 1
T = 1
n = 100
m = 10000
dx = 2*L/n
dy = 2*L/n
dt = T/m
r = mu*dt/(dx**2+dy**2)

# 初始化温度场
A = 1
a = 1
x = np.linspace(-L, L, n+1)
y = np.linspace(-L, L, n+1)
u = np.zeros((n+1, n+1))
for i in range(n+1):
    for j in range(n+1):
        u[i,j] = A*np.exp(-a*(x[i]**2+y[j]**2))
u[0,:] = 0
u[n,:] = 0
u[:,0] = 0
u[:,n] = 0

# 进行时间迭代
for k in range(m):
    # 计算新的温度场
    u_new = np.zeros((n+1, n+1))
    for i in range(1, n):
        for j in range(1, n):
            u_new[i,j] = u[i,j] + r*((u[i+1,j]-2*u[i,j]+u[i-1,j])+(u[i,j+1]-2*u[i,j]+u[i,j-1]))
    
    # 更新温度场
    u = u_new
    
    # 绘制温度分布图
    if k % 100 == 0:
        fig = plt.figure()
        ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
        X, Y = np.meshgrid(x, y)
        ax.plot_surface(X, Y, u, cmap='coolwarm')
        ax.set_xlabel('x')
        ax.set_ylabel('y')
        ax.set_zlabel('u')
        ax.set_title('Time = %.2f' % (k*dt))
        plt.show()

以上代码实现了有限差分法求解二维热传导方程，其中使用了显式差分格式。需要注意的是，该方法只有在稳定性条件满足时才能正确求解。因此，在实际应用中需要对参数进行合理的选择，以确保稳定性条件得到满足。此外，需要对时间和空间步长进行适当的选择，以保证数值解的收敛性。