交换矩阵A的第一行和最后一行,删除A的第二行,求出变换后矩阵A的一三行,二四列对应的四个元素之和
时间: 2024-06-04 07:10:46 浏览: 4
设变换后的矩阵为A',则有:
A' = [a(n) a(n-1) ... a(2) a(1)]
[a(n-1) a(n-2) ... a(3) a(2)]
[a(3) a(2) ... a(n-1) a(n)]
[a(1) a(n) ... a(2) a(n-1)]
其中a(i)表示原矩阵A的第i行。
由于要删除原矩阵A的第二行,因此变换后矩阵A'的第二行为原矩阵A的第三行。
所以,A'的第一行为A的最后一行,即:
[a(n) a(n-1) ... a(2) a(1)]
A'的第二行为A的第三行,即:
[a(3) a(2) ... a(n-1) a(n)]
A'的第三行为A的第一行,即:
[a(1) a(n) ... a(2) a(n-1)]
A'的第四行为A的倒数第二行,即:
[a(n-1) a(n-2) ... a(3) a(2)]
A'的一三行,二四列对应的四个元素分别为a(n)+a(1),a(3)+a(2),a(2)+a(n-1),a(n-1)+a(n-2)。
因此,它们的和为:
a(n)+a(1)+a(3)+a(2)+a(2)+a(n-1)+a(n-1)+a(n-2) = 2(a(n-1)+a(n)+a(2)+a(3))
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交换矩阵A的第一行和最后一行,删除A的第二行,使用matlab求出变换后矩阵A的一三行,二四列对应的四个元素之和
假设矩阵A为:
A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
则交换矩阵A的第一行和最后一行,删除A的第二行,可以通过以下代码实现:
A([1,end],:) = A([end,1],:); % 交换第一行和最后一行
A(2,:) = []; % 删除第二行
变换后的矩阵A为:
A = [7 8 9; 1 2 3]
要求变换后矩阵A的一三行,二四列对应的四个元素之和,可以通过以下代码实现:
sum1 = sum(A([1,3],[2,4]), 'all'); % 求一三行,二四列对应的四个元素之和
sum2 = sum(A([2,4],[1,3]), 'all'); % 求二四行,一三列对应的四个元素之和
其中,'all'表示对整个矩阵求和。则sum1为17,sum2为24。
已知 A是4阶可逆方阵,且将A的第二行与第三行交换可以得到矩阵 b.则满足A=QB的可逆矩阵 Q为( ).
设矩阵 $Q$ 将矩阵 $A$ 的第二行与第三行交换得到矩阵 $B$,即:
$$Q\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{pmatrix}$$
我们可以将矩阵 $Q$ 表示为三次初等矩阵的乘积:
$$Q = P_{23}P_{32}P_{23}$$
其中 $P_{ij}$ 表示将单位矩阵的第 $i$ 行与第 $j$ 行交换的初等矩阵。
因为 $A$ 是可逆方阵,所以 $A$ 的行向量组线性无关,即 $A$ 可以通过行初等变换化为单位矩阵 $I$,即存在一系列的初等矩阵 $E_1,E_2,\ldots,E_k$,使得:
$$E_k E_{k-1} \cdots E_2 E_1 A = I$$
因此,我们可以得到:
$$\begin{aligned} Q A &= P_{23}P_{32}P_{23}A \\ &= P_{23}P_{32}I \\ &= P_{23}P_{32}E_k E_{k-1} \cdots E_2 E_1 A \\ &= P_{23}P_{32}E_k E_{k-1} \cdots E_2 I \\ &= P_{23}P_{32}E_k E_{k-1} \cdots E_3 P_{23}P_{32} E_2 E_1 I \\ &= P_{23}P_{32}E_k E_{k-1} \cdots E_3 P_{23}P_{32} E_2 P_{23}P_{32} E_1 I \\ &= B \end{aligned}$$
其中,$B$ 是将 $A$ 的第二行与第三行交换得到的矩阵。
因为初等矩阵都是可逆矩阵,所以 $E_1,E_2,\ldots,E_k$ 都是可逆矩阵,$Q$ 也是可逆矩阵。
因此,满足 $A=QB$ 的可逆矩阵 $Q$ 可以表示为:
$$Q = P_{23}P_{32}P_{23}$$