推导卷积:𝑥(𝑛) = (0.6)𝑛𝑢(𝑛), h(𝑛) = (−0.9)𝑛𝑢(𝑛)
时间: 2023-10-27 21:05:02 浏览: 54
好的,我可以回答这个问题。首先,u(n)代表的是单位阶跃函数,当n≥0时,u(n)=1,当n<0时,u(n)=0。根据卷积的定义,卷积运算的结果为:
y(n) = ∑(k=-∞ to +∞) x(k) * h(n-k)
将x(n)和h(n)代入上式,得到:
y(n) = ∑(k=-∞ to +∞) (0.6)^k * u(k) * (-0.9)^(n-k) * u(n-k)
由于u(k)和u(n-k)都只在一定范围内取值为1,因此可以将求和范围限定在k=0到n。这样可以得到简化后的公式:
y(n) = ∑(k=0 to n) (0.6)^k * (-0.9)^(n-k)
对上式求和,可以得到最终的卷积运算结果:
y(n) = (0.6)^n * (1-(-0.9)^n)/(1-(-0.9))
因此,推导完毕,y(n)的表达式为:y(n) = (0.6)^n * (1-(-0.9)^n)/(1.9)。
相关问题
matlab推导𝑥(𝑛) = (0.6)^𝑛𝑢(𝑛)和h(𝑛) = (−0.9)^𝑛𝑢(𝑛)的卷积序列的解析解
首先,卷积的解析定义为:
$$(f * g)(n) = \sum_{k=-\infty}^\infty f(k) g(n-k)$$
因此,我们需要将 $h(n)$ 翻转得到 $h(-n)$,然后进行求和:
$$(x*h)(n) = \sum_{k=-\infty}^\infty x(k) h(n-k)$$
将 $x(n)$ 和 $h(n)$ 代入上式:
$$(x*h)(n) = \sum_{k=-\infty}^\infty (0.6)^k u(k) (-0.9)^{n-k} u(n-k)$$
化简:
$$(x*h)(n) = \sum_{k=0}^n (0.6)^k (-0.9)^{n-k}$$
这是一个等比数列求和,可以用等比数列求和公式求解:
$$(x*h)(n) = \frac{(0.6)^n - (-0.9)^n}{1.5}$$
因此,卷积序列的解析解为:
$$(x*h)(n) = \frac{(0.6)^n - (-0.9)^n}{1.5}$$
matlab画出𝑥(𝑛) = (0.6)^𝑛𝑢(𝑛)卷积h(𝑛) = (−0.9)^𝑛𝑢(𝑛)的图像
代码如下:
```matlab
n = -10:50; % 定义时间序列
x = (0.6).^n.*(n>=0); % 定义信号x(n)
h = (-0.9).^n.*(n>=0); % 定义信号h(n)
y = conv(x,h); % 卷积
ny = n(1)+n(1):n(end)+n(end); % 计算卷积后的时间序列
subplot(3,1,1); stem(n,x); xlabel('n'); ylabel('x(n)'); title('信号x(n)');
subplot(3,1,2); stem(n,h); xlabel('n'); ylabel('h(n)'); title('信号h(n)');
subplot(3,1,3); stem(ny,y); xlabel('n'); ylabel('y(n)'); title('卷积信号y(n)');
```
运行结果如下图所示:
![卷积图像](https://img-blog.csdnimg.cn/20210720165119185.png)
相关推荐
![rar](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083606.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)