数据预处理——非线性转换 C++ 实现及案例

非线性转换是数据预处理中的一种重要方法，它可以将原始数据通过某种函数映射到另一个空间中，使得数据在新的空间中更易于分类或更好地满足模型的假设。本文将介绍如何使用C++实现非线性转换，并给出一个实例。

一、非线性转换概述

非线性转换的思想是将原始数据通过某种非线性函数映射到另一个空间中，使得数据在新的空间中更易于分类或更好地满足模型的假设。常见的非线性函数包括幂函数、指数函数、对数函数、sigmoid函数等。例如，可以使用对数函数将原始数据转换为对数值，使得数据在新的空间中更符合正态分布。

二、非线性转换的实现

使用C++实现非线性转换，需要先定义一个非线性转换的函数，然后将原始数据通过该函数进行转换。以下是一个实现非线性转换的示例代码：

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <vector>

using namespace std;

// 定义一个幂函数
double power_function(double x, double alpha) {
    return pow(x, alpha);
}

// 定义一个指数函数
double exp_function(double x, double alpha) {
    return exp(alpha * x);
}

// 定义一个对数函数
double log_function(double x, double alpha) {
    return log(x) / log(alpha);
}

// 定义一个sigmoid函数
double sigmoid_function(double x, double alpha) {
    return 1 / (1 + exp(-alpha * x));
}

// 定义一个非线性转换函数
vector<double> nonlinear_transform(vector<double> data, double (*f)(double, double), double alpha) {
    vector<double> transformed_data;
    for (int i = 0; i < data.size(); i++) {
        transformed_data.push_back(f(data[i], alpha));
    }
    return transformed_data;
}

int main() {
    // 原始数据
    vector<double> data{1, 2, 3, 4, 5};

    // 转换为幂函数
    vector<double> transformed_data = nonlinear_transform(data, power_function, 2);
    cout << "Power function: ";
    for (int i = 0; i < transformed_data.size(); i++) {
        cout << transformed_data[i] << " ";
    }
    cout << endl;

    // 转换为指数函数
    transformed_data = nonlinear_transform(data, exp_function, 0.5);
    cout << "Exp function: ";
    for (int i = 0; i < transformed_data.size(); i++) {
        cout << transformed_data[i] << " ";
    }
    cout << endl;

    // 转换为对数函数
    transformed_data = nonlinear_transform(data, log_function, 2);
    cout << "Log function: ";
    for (int i = 0; i < transformed_data.size(); i++) {
        cout << transformed_data[i] << " ";
    }
    cout << endl;

    // 转换为sigmoid函数
    transformed_data = nonlinear_transform(data, sigmoid_function, 1);
    cout << "Sigmoid function: ";
    for (int i = 0; i < transformed_data.size(); i++) {
        cout << transformed_data[i] << " ";
    }
    cout << endl;

    return 0;
}

该代码定义了四个常见的非线性函数：幂函数、指数函数、对数函数和sigmoid函数。然后定义了一个非线性转换函数`nonlinear_transform`，该函数接受一个数据向量、一个非线性函数和一个参数，返回一个转换后的数据向量。在`main`函数中，将原始数据转换为不同的非线性函数，分别输出转换后的数据。

三、案例

假设有一份数据集，包含两个特征$x_1$和$x_2$，标签$y$为0或1。现在需要将特征经过非线性转换后输入到一个逻辑回归模型中进行分类。以下是一个实现该过程的示例代码：

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <random>

using namespace std;

// 定义sigmoid函数
double sigmoid_function(double x) {
    return 1 / (1 + exp(-x));
}

// 定义非线性转换函数
vector<double> nonlinear_transform(vector<double> data) {
    vector<double> transformed_data;
    transformed_data.push_back(data[0]);
    transformed_data.push_back(data[1]);
    transformed_data.push_back(pow(data[0], 2));
    transformed_data.push_back(pow(data[1], 2));
    transformed_data.push_back(data[0] * data[1]);
    return transformed_data;
}

int main() {
    // 生成随机数据
    random_device rd;
    mt19937 gen(rd());
    uniform_real_distribution<> dis(-1, 1);
    vector<vector<double>> X;
    vector<double> Y;
    for (int i = 0; i < 1000; i++) {
        double x1 = dis(gen);
        double x2 = dis(gen);
        int y = (x1 * x1 + x2 * x2 > 0.5) ? 1 : 0;
        X.push_back({x1, x2});
        Y.push_back(y);
    }

    // 对数据进行非线性转换
    vector<vector<double>> transformed_X;
    for (int i = 0; i < X.size(); i++) {
        transformed_X.push_back(nonlinear_transform(X[i]));
    }

    // 训练逻辑回归模型
    int max_iter = 100;
    double learning_rate = 0.01;
    int n_samples = X.size();
    int n_features = transformed_X[0].size();
    vector<double> w(n_features, 0);
    vector<double> b(n_samples, 0);
    for (int iter = 0; iter < max_iter; iter++) {
        for (int i = 0; i < n_samples; i++) {
            double z = b[i];
            for (int j = 0; j < n_features; j++) {
                z += w[j] * transformed_X[i][j];
            }
            double a = sigmoid_function(z);
            double dz = a - Y[i];
            for (int j = 0; j < n_features; j++) {
                w[j] -= learning_rate * dz * transformed_X[i][j];
            }
            b[i] -= learning_rate * dz;
        }
    }

    // 预测测试集
    vector<vector<double>> X_test{ {-0.5, -0.5}, {0.5, 0.5} };
    vector<vector<double>> transformed_X_test;
    for (int i = 0; i < X_test.size(); i++) {
        transformed_X_test.push_back(nonlinear_transform(X_test[i]));
    }
    for (int i = 0; i < X_test.size(); i++) {
        double z = 0;
        for (int j = 0; j < n_features; j++) {
            z += w[j] * transformed_X_test[i][j];
        }
        double a = sigmoid_function(z);
        cout << "Test sample " << i << ": " << a << endl;
    }

    return 0;
}

该代码生成了1000个随机数据，并将这些数据分为两类：$x_1^2+x_2^2>0.5$的数据标签为1，其余数据标签为0。然后对数据进行非线性转换，将特征$x_1$和$x_2$转换为$x_1$、$x_2$、$x_1^2$、$x_2^2$和$x_1x_2$。最后使用逻辑回归模型对转换后的数据进行训练，并将测试集输入到训练好的模型中进行预测。

四、总结

本文介绍了如何使用C++实现非线性转换，并给出了一个实例。非线性转换是数据预处理中的一种常用方法，可以使得数据在新的空间中更易于分类或更好地满足模型的假设。在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的非线性函数进行转换。