求三角脉冲函数的像函数
时间: 2024-05-16 15:04:20 浏览: 16
三角脉冲函数是一个周期为 $2\pi$ 的函数,定义为:
$$
\operatorname{tri}(x) =
\begin{cases}
1-2\left|x-\frac{\pi}{2k}\right|/(\pi k), & |x-\frac{\pi}{2k}|\leq\frac{\pi k}{2}, \\
0, & \text{otherwise},
\end{cases}
$$
其中 $k$ 是一个正整数。
三角脉冲函数的像函数可以通过傅里叶级数展开得到。具体地,设三角脉冲函数的傅里叶级数为:
$$
\operatorname{tri}(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{inx},
$$
其中系数 $c_n$ 可以通过计算三角脉冲函数的傅里叶系数得到。
由于三角脉冲函数是实函数,因此有 $c_n=c_{-n}^*$,其中 $^*$ 表示复共轭。因此,可以将傅里叶级数展开为:
$$
\operatorname{tri}(x) = c_0 + 2\sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{Re}(c_n e^{inx}),
$$
其中 $\operatorname{Re}$ 表示取实部。
三角脉冲函数的像函数定义为傅里叶级数的模长的平方:
$$
|\operatorname{tri}(x)|^2 = |c_0|^2 + 4\sum_{n=1}^{\infty} |c_n|^2 \cos^2(nx).
$$
其中 $|c_0|^2$ 和 $|c_n|^2$ 均可通过计算三角脉冲函数的傅里叶系数得到。
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