有一对兔子,从出生后第 3 3 个月起每个月都生一对兔子,一对小兔子长到第三个月后每个月又生一对兔子,假如兔子都不死。 问第 n 个月( n≤50 )的兔子总数为多少对?
时间: 2023-10-16 10:17:31 浏览: 17
这是一个经典的兔子问题,可以用递归或迭代的方式求解。
首先我们来看一下递归的解法,假设 $f(n)$ 表示第 $n$ 个月的兔子总数,那么有以下递推公式:
$$
f(n) = \begin{cases}
1, & n=1,2 \\
f(n-1) + f(n-2), & n>2
\end{cases}
$$
其中,当 $n=1$ 或 $n=2$ 时,兔子总数为 $1$ 对;当 $n>2$ 时,这个月新增的兔子总数为上个月的兔子总数加上上上个月的兔子总数,因为上个月的兔子都会生下一代,而上上个月的兔子也会生下一代,所以新增的兔子总数为这两部分之和。
下面是使用 Python 实现的递归解法:
```python
def rabbit(n):
if n == 1 or n == 2:
return 1
else:
return rabbit(n-1) + rabbit(n-2)
# 测试
for i in range(1, 11):
print(f"第{i}个月的兔子总数为{rabbit(i)}对")
```
输出结果为:
```
第1个月的兔子总数为1对
第2个月的兔子总数为1对
第3个月的兔子总数为2对
第4个月的兔子总数为3对
第5个月的兔子总数为5对
第6个月的兔子总数为8对
第7个月的兔子总数为13对
第8个月的兔子总数为21对
第9个月的兔子总数为34对
第10个月的兔子总数为55对
```
可以看出,递归解法的时间复杂度为 $O(2^n)$,随着 $n$ 的增大,计算时间会呈指数级增长,效率很低。
下面我们来看一下迭代解法,同样是使用递推公式,但是使用循环来实现。由于每个月的兔子总数只与前两个月有关,我们可以使用两个变量来保存上上个月和上个月的兔子总数,然后通过循环计算出当前月的兔子总数。
下面是使用 Python 实现的迭代解法:
```python
def rabbit(n):
if n == 1 or n == 2:
return 1
else:
a, b = 1, 1
for i in range(3, n+1):
c = a + b
a = b
b = c
return b
# 测试
for i in range(1, 11):
print(f"第{i}个月的兔子总数为{rabbit(i)}对")
```
输出结果与递归解法相同。
迭代解法的时间复杂度为 $O(n)$,效率比递归解法高得多,可以直接用于计算 $n$ 很大的情况。但是由于 Python 中递归的开销较大,实际上递归解法的效率也比较高,可以用于计算 $n$ 较小的情况。
相关推荐
![zip](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083736.png)
![pdf](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083512.png)
![rar](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083606.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083646.png)