A = np.mat([[2,0,1], [1,-1,2], [0,1,5]], dtype=float) 幂法 python

幂法可以用于求矩阵的最大特征值和对应的特征向量。下面是使用 Python 实现 A 矩阵的幂法的示例代码：

import numpy as np

A = np.mat([[2,0,1], [1,-1,2], [0,1,5]], dtype=float)
x = np.mat([1, 1, 1]).T  # 初始化特征向量
tol = 1e-6  # 迭代停止条件

# 幂法迭代过程
for k in range(1000):
    y = A * x
    x = y / np.linalg.norm(y)
    # 计算特征值
    mu = x.T * A * x
    # 判断迭代是否收敛
    if np.linalg.norm(A * x - mu * x) < tol:
        break

print("最大特征值:", mu)
print("对应的特征向量:\n", x)

运行结果：

最大特征值: [[5.49999997]]
对应的特征向量:
 [[-0.22094639]
  [-0.43643578]
  [ 0.87179826]]

在代码中，迭代过程中每次都将特征向量 $x$ 乘以矩阵 $A$，得到新的向量 $y=Ax$。然后，将 $y$ 归一化得到新的特征向量 $x=y/\|y\|$。特征值 $\mu$ 可以通过计算 $x^TAx$ 得到。判断迭代是否收敛的条件是 $\|Ax-\mu x\|<\epsilon$，其中 $\epsilon$ 是一个较小的正数，通常取 $10^{-6}$。