泽尼克多项式积分重建 matlab代码

泽尼克多项式积分重建是一种数值积分方法，用于计算函数的定积分。其基本思想是将被积函数在给定区间上用泽尼克多项式展开，然后计算其系数，最后用系数求得定积分的近似值。

以下是使用Matlab实现泽尼克多项式积分重建的代码：

function [I, err] = chebyshev_integration(f, a, b, N)
% 使用泽尼克多项式积分重建计算函数f(x)在[a,b]上的定积分
% 参数说明：
% f：被积函数的句柄
% a, b：积分区间的端点
% N：泽尼克多项式级数展开的阶数

% 预处理一些常量
c = (b - a) / 2;
d = (b + a) / 2;
x = cos((0:N-1) * pi / (N-1))'; % Chebyshev nodes

% 计算被积函数在Chebyshev节点上的值
y = f(c * x + d);

% 计算泽尼克多项式的系数
C = dct(y);
C(1) = C(1) / (2 * (N-1));
C(2:N-1) = C(2:N-1) ./ (1 - x(2:N-1).^2) / (2 * (N-1));
C(N) = C(N) / (1 - x(N)^2) / (2 * (N-1));

% 计算定积分的近似值
I = c * sum(C);

% 计算误差
err = abs((b - a)^(2*N) * max(abs(feval(diff(f, 2*N), d))) / (2 * N * factorial(2*N)));
end

此函数将返回计算得到的定积分值和误差。在调用该函数时，您需要提供被积函数的句柄、积分区间的端点和泽尼克多项式级数展开的阶数。例如，要计算 $f(x)=\sin(x)$ 在区间 $[0,\pi/2]$ 上的定积分，可以这样调用该函数：

f = @sin;
a = 0;
b = pi/2;
N = 10;
[I, err] = chebyshev_integration(f, a, b, N);

这将返回计算得到的定积分值和误差。