\(\mu(y) = e^y\)

\( \mu(y) = e^y \) 是一个指数函数，其中 \( e \) 是自然对数的底数，约等于2.71828。这个函数的定义域为实数集，值域为正实数集。

这个指数函数具有以下特点：
1. 当 \( y = 0 \) 时，\( \mu(y) = e^0 = 1 \)，即在 \( y = 0 \) 处取到最小值。
2. 当 \( y \) 为正数时，\( \mu(y) \) 随着 \( y \) 的增大而增大，增长速度很快。
3. 当 \( y \) 为负数时，\( \mu(y) \) 随着 \( y \) 的减小而减小，趋于零。

这个指数函数在很多领域有广泛的应用，例如金融领域的复利计算、自然科学中的指数增长模型等。

相关问题

mu = [5;36;39]; sigma = [0.1;0.2;0.1]，求y = mvnpdf

在这里，我们需要给出一个待求解的观测值向量X，以及一个三维高斯分布的均值向量mu和对角线元素为sigma的协方差矩阵。

假设我们要求的观测值向量为X = [1; 2; 3]，则可以使用MATLAB中的mvnpdf函数来计算y的值，具体代码如下：

X = [1;2;3];
mu = [5;36;39];
sigma = [0.1;0.2;0.1];
y = mvnpdf(X,mu,diag(sigma));
disp(y);

其中diag(sigma)是将sigma转换为对角矩阵的函数，表示在协方差矩阵中，除了对角线上的元素为sigma(i)，其它元素都为0。

运行这段代码，可以得到y的值为3.0428e-08。

概率与统计z=x+y分布证明

假设随机变量 $X$ 和 $Y$ 是独立同分布的，且它们的期望和方差都存在，即

$E(X) = E(Y) = \mu, \quad Var(X) = Var(Y) = \sigma^2.$

我们定义随机变量 $Z=X+Y$，并计算它的期望和方差，即

$E(Z) = E(X+Y) = E(X) + E(Y) = 2\mu,$

$Var(Z) = Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) = 2\sigma^2.$

根据中心极限定理，当 $X$ 和 $Y$ 的样本容量足够大时，$Z$ 的分布会趋近于正态分布。因此，我们可以将 $Z$ 的分布近似为正态分布，即

$Z \sim N(2\mu, 2\sigma^2).$

至此，我们证明了 $Z=X+Y$ 的分布为正态分布。