巴特沃斯滤波器的计算公式

巴特沃斯滤波器的计算公式包括以下几个方面：

1. 通带截止频率和阻带截止频率的计算公式：

通带截止频率 $f_c$ 和阻带截止频率 $f_s$ 可以通过以下公式进行计算：

$f_c = \frac{1}{\sqrt{1+\epsilon^2}}\times f_{cp}$

$f_s = \frac{1}{\sqrt{1+\epsilon^2}}\times f_{sp}$

其中 $\epsilon$ 为滤波器的衰减系数，$f_{cp}$ 和 $f_{sp}$ 分别为通带和阻带的截止频率。

2. 阶数的计算公式：

巴特沃斯滤波器的阶数 $n$ 可以通过以下公式进行计算：

$n = \frac{\log(\frac{1}{\delta})}{2\log(\frac{f_s}{f_c})}$

其中 $\delta$ 为滤波器的最大允许幅度误差。

3. 极点的计算公式：

对于巴特沃斯滤波器，极点位置可以通过以下公式进行计算：

$s_k = s_c \times e^{j\frac{\pi}{2n}(2k+n-1)}$

其中 $s_c$ 为归一化的通带截止频率，$k$ 取值从 $1$ 到 $n$。

4. 模拟滤波器传递函数的计算公式：

巴特沃斯滤波器的模拟滤波器传递函数可以通过以下公式进行计算：

$H_a(s) = \frac{1}{B(s)}$

其中 $B(s)$ 为模拟滤波器的分母多项式，可以通过以下公式计算：

$B(s) = (s-s_1)(s-s_2)\cdots(s-s_n)$

5. 数字滤波器传递函数的计算公式：

巴特沃斯滤波器的数字滤波器传递函数可以通过以下公式进行计算：

$H(z) = \frac{b_0+b_1z^{-1}+b_2z^{-2}+\cdots+b_nz^{-n}}{1+a_1z^{-1}+a_2z^{-2}+\cdots+a_nz^{-n}}$

其中 $b_i$ 和 $a_i$ 分别为数字滤波器的前向系数和反馈系数，可以通过以下公式计算：

$b_i = \frac{A_i}{A_0}\times \frac{2\pi}{T}\frac{s_c}{s_i+ s_c}$

$a_i = \frac{1}{A_0}\times \frac{(s_i-s_c)}{(s_i+s_c)}$

其中 $A_i$ 和 $A_0$ 分别为模拟滤波器和数字滤波器的增益系数，$T$ 为采样周期。