判断 f(x)=x^2+3x^3+1 是奇函数还是偶函数

要判断一个函数是奇函数还是偶函数，需要看函数的定义域关于原点对称性。具体来说，如果对于定义域内的任意 x，有 f(-x) = f(x)，则该函数为偶函数；如果对于定义域内的任意 x，有 f(-x) = -f(x)，则该函数为奇函数。

现在来看 f(x) = x^2 + 3x^3 + 1，有 f(-x) = (-x)^2 + 3(-x)^3 + 1 = x^2 - 3x^3 + 1，而 f(x) = x^2 + 3x^3 + 1，显然 f(-x) ≠ f(x)，也不满足 f(-x) = -f(x)，因此 f(x) 既不是偶函数也不是奇函数。

相关问题

f(x)=x^2+3x^3+1 用求导判断奇偶性

### 回答1：
$f(x) = x^2 + 3x^3 + 1$ 的导函数为 $f'(x) = 2x + 9x^2$。

如果 $f(-x) = f(x)$，则 $f(x)$ 是偶函数；如果 $f(-x) = -f(x)$，则 $f(x)$ 是奇函数。

将 $-x$ 代入 $f(x)$ 中得到：

$f(-x) = (-x)^2 + 3(-x)^3 + 1 = x^2 - 3x^3 + 1$

因此，$f(-x) \neq f(x)$，也不等于 $-f(x)$。因此，$f(x)$ 既不是偶函数也不是奇函数。

### 回答2：
要通过求导来判断函数f(x) = x^2 + 3x^3 + 1 的奇偶性，我们首先需要求出它的导函数。

对于f(x) = x^2 + 3x^3 + 1, 求导得到f'(x) = 2x + 9x^2.

根据导函数的奇偶性定理，如果导函数在某一点x处为0，那么在该点附近，函数f(x)具有对称轴，即该点对应的x值为函数f(x)的对称轴。

要求出f'(x) = 2x + 9x^2 的零点，我们可以将其视为一元二次方程，令2x + 9x^2 = 0, 得到9x^2 + 2x = 0.

解这个方程可以使用因式分解法或者求根公式。但是观察到这个方程的左边可以进行因式分解，即x(9x + 2) = 0.

所以方程的解为x = 0 或者 x = -2/9.

因此，函数f(x)的对称轴为x = 0 和 x = -2/9.

根据对称性质，如果一个函数关于某个对称轴对称，则它是偶函数，否则是奇函数。

由于f(x)关于两个轴都不对称，所以可以得出结论，f(x)既不是奇函数，也不是偶函数。

综上所述，函数f(x) = x^2 + 3x^3 + 1 既不是奇函数，也不是偶函数。

### 回答3：
根据函数的定义，f(x) = x^2 + 3x^3 + 1。在求导之前，我们需要将函数进行简单的重排，以便使用求导规则。

f(x) = x^2 + 3x^3 + 1

对x^2 求导，结果为 2x
对3x^3 求导，结果为 9x^2
对常数项1 求导，结果为 0

现在我们可以将上面的求导结果整合起来：

f'(x) = 2x + 9x^2 + 0

经过简化得到：

f'(x) = 9x^2 + 2x

根据求导结果，我们可以看出，在这个函数中，f'(x)的最高次方项的系数为9，这意味着这个函数的奇次幂的项比偶次幂的项的影响要大。

当x为正数时，f'(x) = 9x^2 + 2x > 0 ，表示函数在正数的区间上是递增的，在这个区间里函数的值不会重复。

当x为负数时，f'(x) = 9x^2 + 2x > 0 ，同样表示函数在负数的区间上也是递增的。

因此，根据求导后的结果可知，函数f(x) = x^2 + 3x^3 + 1 既不是奇函数也不是偶函数。

f(x)=f(-x)-2是奇函数吗

### 回答1：
首先，我们来回顾一下奇函数的定义：如果对于任意实数x，都有 $f(-x)=-f(x)$，那么函数f(x)是奇函数。

现在我们将f(x)=f(-x)-2代入奇函数的定义中，得到：

$f(-x) = f(x) - 2$

再将其代入原式中，得到：

$f(x) = f(x) - 2$

移项可得：

$2 = 0$

显然，2不等于0，因此上述方程无解。也就是说，对于f(x)=f(-x)-2这个函数，它并不满足奇函数的定义，因此它不是奇函数。

### 回答2：
要判断函数f(x)是否为奇函数，需要满足两个条件：首先，函数的定义域需要关于原点对称；其次，对于任意的x在定义域内，f(x) = -f(-x)。

对于给定的函数f(x) = f(-x) - 2，我们来逐一验证这两个条件。

首先，观察函数的定义域。根据等式f(x) = f(-x) - 2，我们可以将x替换为-x得到f(-x) = f(x) - 2。这说明函数的定义域关于原点对称，因为对于定义域中的任意x，都可以找到一个-x也在定义域中，并且f(x)和f(-x)具有相同的取值。

其次，我们来验证奇函数的第二个条件。对于任意的x，在定义域内，我们有f(x) = f(-x) - 2。我们将右边的f(-x)利用奇函数的性质改写为-f(x)得到：f(x) = -f(x) - 2。整理得到2f(x) = -2，进一步化简为f(x) = -1。

可以看出，对于任意的x，f(x) = -1恒成立。即便是在定义域之外的x值，该等式也成立。因此，我们可以得出结论：函数f(x) = f(-x) - 2是一个常数函数，具体值为-1。

综上所述，函数f(x) = f(-x) - 2既不是奇函数也不是偶函数，它是一个常数函数。

### 回答3：
要判断一个函数是奇函数还是偶函数，需要验证函数的定义域内的任意一个x值对应的f(x)是否满足奇函数或偶函数的性质。

对于给定的函数f(x) = f(-x) - 2，我们先考虑函数的定义域为实数集R。

首先，根据函数的定义，我们可以得到：f(-x) = f(x) - 2

如果f(x)是奇函数，那么对于任意的x值，f(-x) = -f(x)。

将上式代入f(-x) = f(x) - 2，得到-f(x) = f(x) - 2

整理得到2f(x) = 2，即f(x) = 1

但是，这个结论与原函数f(x) = f(-x) - 2不符合。

因此，根据以上推导，我们可以得出结论：函数f(x) = f(-x) - 2不是奇函数。