C++求解三维圆与某方向平面上的切点
时间: 2024-05-25 10:13:44 浏览: 7
对于一个三维圆,我们可以用圆心坐标和半径来表示。假设圆心坐标为 $(x_0, y_0, z_0)$,半径为 $r$。
现在我们需要求解这个圆在某方向平面上的切点。我们可以先确定这个方向平面的法向量 $\vec{n}$,然后求出圆心到这个平面的距离 $d$,最后根据勾股定理求出切点坐标。
假设方向平面的法向量为 $\vec{n}=(a,b,c)$,圆心到这个平面的距离为 $d=\frac{ax_0+by_0+cz_0}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$,则圆心到切点的距离为 $r_0=\sqrt{r^2-d^2}$。
切点坐标为 $(x,y,z)$,满足以下方程组:
$$\begin{cases} (x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2 \\ ax+by+cz=d \\ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r_0^2 \end{cases}$$
我们可以将第一个方程展开,得到:
$$(x^2-2x_0x+x_0^2)+(y^2-2y_0y+y_0^2)+(z^2-2z_0z+z_0^2)=r^2$$
将第二个方程代入上式,得到:
$$a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+2abxy+2acxz+2bcyz-2adx_0-2bdy_0-2cdz_0=axx_0+byy_0+czz_0+d^2$$
将第三个方程代入上式,得到:
$$a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+2abxy+2acxz+2bcyz-2adx_0-2bdy_0-2cdz_0=x^2-2x_0x+x_0^2+y^2-2y_0y+y_0^2+z^2-2z_0z+z_0^2-r_0^2$$
这是一个二次方程组,可以通过求解得到切点坐标 $(x,y,z)$。
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