二维复合辛普森公式具体公式

二维复合辛普森公式是对二元函数在矩形区域上进行数值积分的一种方法。具体公式如下：

假设要对函数 $f(x,y)$ 在矩形区域 $[a,b]\times[c,d]$ 上进行积分，将该区域划分成 $m\times n$ 个小矩形，其面积分别为 $\Delta x\times\Delta y$。则有：

$\iint\limits_{[a,b]\times[c,d]}f(x,y)dxdy\approx \frac{\Delta x\Delta y}{9}\sum\limits_{i=1}^{m}\sum\limits_{j=1}^{n}
\left[f(x_{i,j},y_{i,j})+2\sum\limits_{k=1}^{K-1}f(x_{i,j},y_{k,j})+2\sum\limits_{k=1}^{K-1}f(x_{i,j},y_{j,k})+4\sum\limits_{k=1}^{K-1}\sum\limits_{l=1}^{K-1}f(x_{i,k},y_{j,l})\right]$

其中，$\Delta x=\frac{b-a}{m}$，$\Delta y=\frac{d-c}{n}$，$K$ 是每个小矩形中等分的点数，$x_{i,j}=a+i\Delta x$，$y_{i,j}=c+j\Delta y$。

需要注意的是，当 $K=1$ 时，二维复合辛普森公式即为二维辛普森公式。

相关问题

二维复合梯形积分公式和复合辛普森公式推导

二维复合梯形积分公式：

设$f(x,y)$在闭区域$D=[a,b]\times[c,d]$上连续，则有二维复合梯形公式：

$$\iint\limits_{D}f(x,y) {\rm d}x{\rm d}y\approx\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}\frac{h_1h_2}{4}[f(x_i,y_j)+f(x_{i-1},y_j)+f(x_i,y_{j-1})+f(x_{i-1},y_{j-1})]$$

其中，$x_0=a,y_0=c,x_m=b,y_n=d$，$h_1=(b-a)/m,h_2=(d-c)/n$。

复合辛普森公式：

设$f(x,y)$在闭区域$D=[a,b]\times[c,d]$上具有二阶连续偏导数，则有二维复合辛普森公式：

$$\iint\limits_{D}f(x,y) {\rm d}x{\rm d}y\approx\frac{h_1h_2}{9}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}[f(x_{2i-2},y_{2j-2})+4f(x_{2i-1},y_{2j-2})+2f(x_{2i},y_{2j-2})+4f(x_{2i-2},y_{2j-1})+16f(x_{2i-1},y_{2j-1})$$

$$+4f(x_{2i},y_{2j-1})+2f(x_{2i-2},y_{2j})+4f(x_{2i-1},y_{2j})+f(x_{2i},y_{2j})]$$

其中，$x_0=a,y_0=c,x_m=b,y_n=d$，$h_1=(b-a)/2m,h_2=(d-c)/2n$。

推导：

对于二维复合梯形积分公式，将$[x_{i-1},x_i]\times[y_{j-1},y_j]$上的$f(x,y)$近似为一个平面，于是有：

$$\int_{x_{i-1}}^{x_i}\int_{y_{j-1}}^{y_j}f(x,y){\rm d}x{\rm d}y\approx\frac{h_1h_2}{4}[f(x_i,y_j)+f(x_{i-1},y_j)+f(x_i,y_{j-1})+f(x_{i-1},y_{j-1})]$$

对于区域$D$，将其分成$m$个小区间$[x_{i-1},x_i]\times[c,d]$，再在每个小区间上分成$n$个小区间$[x_{i-1},x_i]\times[y_{j-1},y_j]$，然后采用上述公式计算每个小区间上的积分，最终加和得到整个区域上的数值积分。

对于二维复合辛普森公式，我们采用二维复合梯形积分公式的思路，将$[x_{2i-2},x_{2i}]\times[y_{2j-2},y_{2j}]$上的$f(x,y)$近似为一个二次函数，于是有：

$$\int_{x_{2i-2}}^{x_{2i}}\int_{y_{2j-2}}^{y_{2j}}f(x,y){\rm d}x{\rm d}y\approx\frac{h_1h_2}{9}[f(x_{2i-2},y_{2j-2})+4f(x_{2i-1},y_{2j-2})+2f(x_{2i},y_{2j-2})+4f(x_{2i-2},y_{2j-1})+16f(x_{2i-1},y_{2j-1})$$

$$+4f(x_{2i},y_{2j-1})+2f(x_{2i-2},y_{2j})+4f(x_{2i-1},y_{2j})+f(x_{2i},y_{2j})]$$

对于区域$D$，同样先将其分成$m$个小区间$[x_{2i-2},x_{2i}]\times[c,d]$，再在每个小区间上分成$n$个小区间$[x_{2i-2},x_{2i}]\times[y_{2j-2},y_{2j}]$，最终采用上述公式计算每个小区间上的积分，最终加和得到整个区域上的数值积分。

编写一段 用 Cotes公式或龙贝格算法或复合辛普森公式或复合梯形公式 构造卡方分布表的python代码

好的，以下是用复合辛普森公式构造卡方分布表的Python代码：

import math

def chi_square_distribution_table(n, alpha):
    """构造卡方分布表"""
    chi_table = []
    for i in range(1, 31):
        a = 0
        b = math.inf
        h = (b - a) / 2
        s = chi_square_distribution(n, a)
        chi_table_row = []
        for j in range(1, 11):
            x = a + j * h
            if j % 2 == 0:
                s += 2 * chi_square_distribution(n, x)
            else:
                s += 4 * chi_square_distribution(n, x)
            chi_table_row.append(round(s * h / 3, 4))
        chi_table.append(chi_table_row)
    return chi_table

def chi_square_distribution(n, x):
    """卡方分布的概率密度函数"""
    return (x ** ((n / 2) - 1) * math.exp(-x / 2)) / (math.pow(2, n / 2) * math.gamma(n / 2))

# 示例
chi_table = chi_square_distribution_table(10, 0.05)
for row in chi_table:
    print(row)

其中，`chi_square_distribution_table`函数用于构造卡方分布表，接受两个参数：`n`代表自由度，`alpha`代表显著性水平。函数返回一个二维列表，表示卡方分布表。`chi_square_distribution`函数用于计算卡方分布的概率密度函数。最后，我们以10个自由度和0.05的显著性水平为例，构造了一个卡方分布表，并打印出来。