二维复合辛普森公式具体公式

二维复合辛普森公式是对二元函数在矩形区域上进行数值积分的一种方法。具体公式如下：

假设要对函数 $f(x,y)$ 在矩形区域 $[a,b]\times[c,d]$ 上进行积分，将该区域划分成 $m\times n$ 个小矩形，其面积分别为 $\Delta x\times\Delta y$。则有：

$\iint\limits_{[a,b]\times[c,d]}f(x,y)dxdy\approx \frac{\Delta x\Delta y}{9}\sum\limits_{i=1}^{m}\sum\limits_{j=1}^{n}
\left[f(x_{i,j},y_{i,j})+2\sum\limits_{k=1}^{K-1}f(x_{i,j},y_{k,j})+2\sum\limits_{k=1}^{K-1}f(x_{i,j},y_{j,k})+4\sum\limits_{k=1}^{K-1}\sum\limits_{l=1}^{K-1}f(x_{i,k},y_{j,l})\right]$

其中，$\Delta x=\frac{b-a}{m}$，$\Delta y=\frac{d-c}{n}$，$K$ 是每个小矩形中等分的点数，$x_{i,j}=a+i\Delta x$，$y_{i,j}=c+j\Delta y$。

需要注意的是，当 $K=1$ 时，二维复合辛普森公式即为二维辛普森公式。

相关问题

二维复合梯形积分公式和复合辛普森公式推导

二维复合梯形积分公式：

设$f(x,y)$在闭区域$D=[a,b]\times[c,d]$上连续，则有二维复合梯形公式：

$$\iint\limits_{D}f(x,y) {\rm d}x{\rm d}y\approx\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}\frac{h_1h_2}{4}[f(x_i,y_j)+f(x_{i-1},y_j)+f(x_i,y_{j-1})+f(x_{i-1},y_{j-1})]$$

其中，$x_0=a,y_0=c,x_m=b,y_n=d$，$h_1=(b-a)/m,h_2=(d-c)/n$。

复合辛普森公式：

设$f(x,y)$在闭区域$D=[a,b]\times[c,d]$上具有二阶连续偏导数，则有二维复合辛普森公式：

$$\iint\limits_{D}f(x,y) {\rm d}x{\rm d}y\approx\frac{h_1h_2}{9}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}[f(x_{2i-2},y_{2j-2})+4f(x_{2i-1},y_{2j-2})+2f(x_{2i},y_{2j-2})+4f(x_{2i-2},y_{2j-1})+16f(x_{2i-1},y_{2j-1})$$

$$+4f(x_{2i},y_{2j-1})+2f(x_{2i-2},y_{2j})+4f(x_{2i-1},y_{2j})+f(x_{2i},y_{2j})]$$

其中，$x_0=a,y_0=c,x_m=b,y_n=d$，$h_1=(b-a)/2m,h_2=(d-c)/2n$。

推导：

对于二维复合梯形积分公式，将$[x_{i-1},x_i]\times[y_{j-1},y_j]$上的$f(x,y)$近似为一个平面，于是有：

$$\int_{x_{i-1}}^{x_i}\int_{y_{j-1}}^{y_j}f(x,y){\rm d}x{\rm d}y\approx\frac{h_1h_2}{4}[f(x_i,y_j)+f(x_{i-1},y_j)+f(x_i,y_{j-1})+f(x_{i-1},y_{j-1})]$$

对于区域$D$，将其分成$m$个小区间$[x_{i-1},x_i]\times[c,d]$，再在每个小区间上分成$n$个小区间$[x_{i-1},x_i]\times[y_{j-1},y_j]$，然后采用上述公式计算每个小区间上的积分，最终加和得到整个区域上的数值积分。

对于二维复合辛普森公式，我们采用二维复合梯形积分公式的思路，将$[x_{2i-2},x_{2i}]\times[y_{2j-2},y_{2j}]$上的$f(x,y)$近似为一个二次函数，于是有：

$$\int_{x_{2i-2}}^{x_{2i}}\int_{y_{2j-2}}^{y_{2j}}f(x,y){\rm d}x{\rm d}y\approx\frac{h_1h_2}{9}[f(x_{2i-2},y_{2j-2})+4f(x_{2i-1},y_{2j-2})+2f(x_{2i},y_{2j-2})+4f(x_{2i-2},y_{2j-1})+16f(x_{2i-1},y_{2j-1})$$

$$+4f(x_{2i},y_{2j-1})+2f(x_{2i-2},y_{2j})+4f(x_{2i-1},y_{2j})+f(x_{2i},y_{2j})]$$

对于区域$D$，同样先将其分成$m$个小区间$[x_{2i-2},x_{2i}]\times[c,d]$，再在每个小区间上分成$n$个小区间$[x_{2i-2},x_{2i}]\times[y_{2j-2},y_{2j}]$，最终采用上述公式计算每个小区间上的积分，最终加和得到整个区域上的数值积分。

复合辛普森公式matlab

复合辛普森公式是一种数值积分方法，用于计算定积分。在MATLAB中，可以使用以下代码实现复合辛普森公式：

function I = composite_simpson(f, a, b, n)
% f: 被积函数
% a, b: 积分区间
% n: 划分数

h = (b - a) / n;
x = linspace(a, b, n+1);
y = f(x);

I = h / 3 * (y(1) + 4*sum(y(2:2:end-1)) + 2*sum(y(3:2:end-2)) + y(end));

其中，`composite_simpson`函数的参数为被积函数`f`、积分区间的上下限`a`和`b`，以及划分数`n`。函数中首先计算出每个子区间的宽度`h`，然后生成等差数列`x`表示各子区间的左端点。对应的函数值`y`可以通过`f(x)`计算得到。最后，根据复合辛普森公式计算积分值`I`。