创业者考虑沿着大学城步行街开一系列网吧。沿线有n个可能的位置,这些位置依次距离大学城步行街的起点m1, m2, …, mn公里。每个位置最多能开一家网吧。在位置i开一家网吧的预期收益是pi(pi > 0, i = 1, 2, …, n)。任何两个网吧之间至少需要间隔k公里,k是一个正整数。mn<=1000。 设计一个动态规划算法计算满足开网吧的条件的前提下最大的总的预期收益。 要求:a) 写出此动态规划的递归表达式(状态转移方程) 提示:设F(i)为前i个位置开网吧的最大收益 b) 写出程序伪代码即可,不要求代入具体实例计算
时间: 2024-03-05 08:48:53 浏览: 26
a) 递归表达式为:
$$F(i) = \begin{cases} 0, & i = 0 \\ p_1, & i = 1 \\ \max\{F(j) + p_i\}, & 1 \leq j < i - k \end{cases}$$
其中,$F(i)$表示前$i$个位置开网吧的最大收益,$p_i$表示在位置$i$开网吧的预期收益,$k$为网吧之间的最小距离。
b) 伪代码如下:
```
Input: n, m, p, k
Output: max_profit
max_profit[0] = 0
max_profit[1] = p[1]
for i from 2 to n do
max_profit[i] = p[i]
for j from 1 to i - k - 1 do
max_profit[i] = max(max_profit[i], max_profit[j] + p[i])
end for
end for
return max_profit[n]
```
其中,$n$为可能的位置数,$m$为位置距离大学城步行街的起点的公里数,$p$为每个位置开网吧的预期收益,$k$为网吧之间的最小距离。函数返回在满足条件的前提下最大的总的预期收益。
相关问题
C语言在一条直线公路旁有 n 户居民在居住,每个房子的位置用一个坐标值表示。 现在要在公路沿线建立两个邮局,使每个居民到邮局距离之和为最小,求两个邮 局的位置。例如,某个居民到两个邮局的距离分别为 12 和 19,则把较小的 12 作 为该居民到邮局的距离。
这是一道经典的最优化问题,可以用贪心算法和动态规划算法来解决。下面分别介绍两种算法。
1. 贪心算法
贪心算法的思想是每一步都选择当前最优的解,最终得到全局最优的解。对于这道问题,我们可以分别确定两个邮局的位置,然后计算所有居民到这两个邮局的距离之和,最后选择最小的距离之和作为最终的解。
具体来说,我们可以枚举所有可能的邮局位置,计算每个居民到这两个邮局的距离之和,然后选取最小的距离之和作为最优解。由于邮局的位置有 n 种选择,因此时间复杂度为 O(n^3)。
2. 动态规划算法
动态规划算法的思想是将大问题分解为小问题,并记录中间结果,从而避免重复计算。对于这道问题,我们可以先将所有居民按照坐标值排序,然后考虑只建立一个邮局的情况,即所有居民到这个邮局的距离之和最小是多少。
假设我们在第 i 个居民处建立一个邮局,则第 j 个居民到这个邮局的距离为 |x[j] - x[i]|,其中 x[k] 表示第 k 个居民的坐标值。因此,对于一个给定的 i,我们可以计算出所有居民到这个邮局的距离之和。这可以通过动态规划来实现。
具体来说,我们可以定义一个二维数组 dp[i][j],表示前 j 个居民中建立一个邮局在第 i 个居民处的最小距离和。对于任意的 i 和 j,有以下状态转移方程:
dp[i][j] = dp[i][j-1] + |x[j] - x[(i+j)/2]| - |x[j] - x[(i+j-1)/2]|
其中,|a-b| 表示 a 和 b 的差的绝对值。这个方程的意义是将第 j 个居民加入到第 i 个居民处建立的邮局中,同时将前 j-1 个居民已经建立的邮局向右移动一位。由于我们要计算的是最小距离和,因此需要在所有 dp[i][j] 中选择最小值。
最终的解可以通过枚举两个邮局的位置,将两个位置分别作为 i 来计算,然后将两个距离和相加,得到最小值。
算法的时间复杂度为 O(n^2),空间复杂度也为 O(n^2)。
C语言代码在一条直线公路旁有 n 户居民在居住,每个房子的位置用一个坐标值表示。 现在要在公路沿线建立两个邮局,使每个居民到邮局距离之和为最小,求两个邮 局的位置。例如,某个居民到两个邮局的距离分别为 12 和 19,则把较小的 12 作 为该居民到邮局的距离。
这是一个典型的最优化问题,可以使用贪心算法来解决。具体步骤如下:
1. 对所有居民的位置进行排序,得到一个有序的数组 a。
2. 首先在 a[0] 和 a[n-1] 之间选择一个邮局,将它设为 x1。
3. 在 x1 和 a[n-1] 之间选择一个邮局,将它设为 x2。
4. 遍历所有居民的位置,计算每个居民到 x1 和 x2 的距离,取较小值加入总距离之和。
5. 如果总距离小于之前的最小值,则更新最小值,并保存 x1 和 x2 的位置。
6. 将 x1 和 x2 分别向中心移动一格,重复步骤 4 和 5,直到 x1 和 x2 相遇。
最后得到的 x1 和 x2 就是两个邮局的位置。
以下是 C 语言代码实现:
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