以鸢尾花数据为例,用C语言实现PCA算法,并求出4个主成分的贡献率。

PCA（Principal Component Analysis）算法是一种常用的数据降维方法，可以将高维数据降到低维空间中，同时尽可能的保留原始数据的信息。在这里，我们将使用C语言实现PCA算法，并求出4个主成分的贡献率。

鸢尾花数据集是一个经典的数据集，包含了3种不同类别的鸢尾花，每类50个样本。每个样本包括4个特征：花萼长度、花萼宽度、花瓣长度和花瓣宽度。我们将使用这个数据集来进行PCA算法的实现。

首先，我们需要读取数据集并将其存储在一个二维数组中。假设我们将数据集存储在一个名为“iris.csv”的文件中，我们可以使用以下代码来读取数据：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define ROWS 150
#define COLS 4

int main() {
    FILE *fp;
    double data[ROWS][COLS];
    int i, j;

    fp = fopen("iris.csv", "r");
    if (fp == NULL) {
        printf("Error opening file\n");
        return 1;
    }

    for (i = 0; i < ROWS; i++) {
        for (j = 0; j < COLS; j++) {
            fscanf(fp, "%lf,", &data[i][j]);
        }
    }

    fclose(fp);

    // TODO: 实现PCA算法
    // ...

    return 0;
}

接下来，我们需要对数据进行中心化处理，即将每个特征的平均值减去整个特征向量的平均值。这可以通过以下代码实现：

double mean[COLS] = {0};
for (i = 0; i < COLS; i++) {
    for (j = 0; j < ROWS; j++) {
        mean[i] += data[j][i];
    }
    mean[i] /= ROWS;
}

for (i = 0; i < ROWS; i++) {
    for (j = 0; j < COLS; j++) {
        data[i][j] -= mean[j];
    }
}

然后，我们需要计算协方差矩阵。协方差矩阵是一个对称矩阵，其中每个元素表示对应特征之间的相关性。我们可以使用以下代码来计算协方差矩阵：

double cov[COLS][COLS] = {0};
for (i = 0; i < COLS; i++) {
    for (j = i; j < COLS; j++) {
        double sum = 0;
        int k;
        for (k = 0; k < ROWS; k++) {
            sum += data[k][i] * data[k][j];
        }
        cov[i][j] = cov[j][i] = sum / (ROWS - 1);
    }
}

接下来，我们需要对协方差矩阵进行特征分解。特征分解可以将协方差矩阵分解成特征向量和特征值的乘积。特征向量是一个列向量，表示对应特征的方向，而特征值表示在该方向上的方差。我们可以使用以下代码来计算特征向量和特征值：

double eig_vals[COLS] = {0};
double eig_vecs[COLS][COLS] = {0};
jacobi(cov, COLS, eig_vals, eig_vecs);  // 使用Jacobi方法进行特征分解

其中，`jacobi`函数是使用Jacobi方法进行特征分解的函数，可以使用现成的库函数或者自己实现。

最后，我们需要选择前4个特征向量作为主成分，并计算它们的贡献率。主成分是按照特征值从大到小排序的前几个特征向量，它们可以最大限度地保留原始数据的信息。贡献率表示每个主成分对总方差的贡献程度，可以通过对应特征值与所有特征值之和的比值来计算。我们可以使用以下代码来选择主成分并计算贡献率：

int num_pc = 4;
double pc[COLS][num_pc];
for (i = 0; i < num_pc; i++) {
    for (j = 0; j < COLS; j++) {
        pc[j][i] = eig_vecs[j][COLS - 1 - i];
    }
}

double total_var = 0;
for (i = 0; i < COLS; i++) {
    total_var += eig_vals[i];
}

double pc_var[num_pc];
for (i = 0; i < num_pc; i++) {
    pc_var[i] = eig_vals[COLS - 1 - i] / total_var;
    printf("PC%d: %.2f%%\n", i + 1, pc_var[i] * 100);
}

其中，`num_pc`表示要选择的主成分的数量。在这个例子中，我们选择了4个主成分。`pc`数组存储了选择的主成分，每列代表一个主成分。`total_var`表示所有特征的方差之和。`pc_var`数组存储了每个主成分的贡献率。最后，使用`printf`函数输出主成分的贡献率。

完整代码如下：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define ROWS 150
#define COLS 4

void jacobi(double A[][COLS], int n, double eigenvalues[], double eigenvectors[][COLS]);

int main() {
    FILE *fp;
    double data[ROWS][COLS];
    int i, j;

    fp = fopen("iris.csv", "r");
    if (fp == NULL) {
        printf("Error opening file\n");
        return 1;
    }

    for (i = 0; i < ROWS; i++) {
        for (j = 0; j < COLS; j++) {
            fscanf(fp, "%lf,", &data[i][j]);
        }
    }

    fclose(fp);

    double mean[COLS] = {0};
    for (i = 0; i < COLS; i++) {
        for (j = 0; j < ROWS; j++) {
            mean[i] += data[j][i];
        }
        mean[i] /= ROWS;
    }

    for (i = 0; i < ROWS; i++) {
        for (j = 0; j < COLS; j++) {
            data[i][j] -= mean[j];
        }
    }

    double cov[COLS][COLS] = {0};
    for (i = 0; i < COLS; i++) {
        for (j = i; j < COLS; j++) {
            double sum = 0;
            int k;
            for (k = 0; k < ROWS; k++) {
                sum += data[k][i] * data[k][j];
            }
            cov[i][j] = cov[j][i] = sum / (ROWS - 1);
        }
    }

    double eig_vals[COLS] = {0};
    double eig_vecs[COLS][COLS] = {0};
    jacobi(cov, COLS, eig_vals, eig_vecs);

    int num_pc = 4;
    double pc[COLS][num_pc];
    for (i = 0; i < num_pc; i++) {
        for (j = 0; j < COLS; j++) {
            pc[j][i] = eig_vecs[j][COLS - 1 - i];
        }
    }

    double total_var = 0;
    for (i = 0; i < COLS; i++) {
        total_var += eig_vals[i];
    }

    double pc_var[num_pc];
    for (i = 0; i < num_pc; i++) {
        pc_var[i] = eig_vals[COLS - 1 - i] / total_var;
        printf("PC%d: %.2f%%\n", i + 1, pc_var[i] * 100);
    }

    return 0;
}

void jacobi(double A[][COLS], int n, double eigenvalues[], double eigenvectors[][COLS]) {
    int i, j, k;
    for (i = 0; i < n; i++) {
        eigenvectors[i][i] = 1;
        for (j = 0; j < n; j++) {
            if (i != j) {
                eigenvectors[i][j] = 0;
            }
        }
    }

    int max_iter = n * n * n;
    for (i = 0; i < max_iter; i++) {
        double max_offdiag = 0;
        int p, q;
        for (j = 0; j < n; j++) {
            for (k = j + 1; k < n; k++) {
                double a = A[j][k];
                if (abs(a) > max_offdiag) {
                    max_offdiag = abs(a);
                    p = j;
                    q = k;
                }
            }
        }

        if (max_offdiag == 0) {
            break;
        }

        double theta = (A[q][q] - A[p][p]) / (2 * A[p][q]);
        double t;
        if (theta >= 0) {
            t = 1 / (theta + sqrt(1 + theta * theta));
        } else {
            t = -1 / (-theta + sqrt(1 + theta * theta));
        }

        double c = 1 / sqrt(1 + t * t);
        double s = t * c;
        double tau = s / (1 + c);
        double a_pp = A[p][p];
        double a_qq = A[q][q];
        double a_pq = A[p][q];
        A[p][p] = a_pp - t * a_pq;
        A[q][q] = a_qq + t * a_pq;
        A[p][q] = A[q][p] = 0;
        for (j = 0; j < n; j++) {
            if (j != p && j != q) {
                double a_pj = A[p][j];
                double a_qj = A[q][j];
                A[p][j] = A[j][p] = a_pj - s * (a_qj + tau * a_pj);
                A[q][j] = A[j][q] = a_qj + s * (a_pj - tau * a_qj);
            }
        }

        for (j = 0; j < n; j++) {
            double v_pj = eigenvectors[p][j];
            double v_qj = eigenvectors[q][j];
            eigenvectors[p][j] = v_pj - s * (v_qj + tau * v_pj);
            eigenvectors[q][j] = v_qj + s * (v_pj - tau * v_qj);
        }
    }

    for (i = 0; i < n; i++) {
        eigenvalues[i] = A[i][i];
    }
}

注意：这里的PCA算法实现中，我们使用了Jacobi方法进行特征分解。这种方法虽然简单易懂，但其时间复杂度较高，通常不适用于大规模的数据集。在实际应用中，可能需要使用更快速的算法，例如基于奇异值分解（SVD）的PCA算法。