Kruskal算法求最小生成树的证明

Kruskal算法的证明分为两部分：首先证明该算法可以得到最小生成树，其次证明该算法的时间复杂度为O(elog2e)。

证明1：Kruskal算法可以得到最小生成树
假设Kruskal算法得到的生成树T不是最小生成树。因为Kruskal算法是贪心算法，在每一步都选择当前可以连接两条边中最短的那一条，所以必然存在某一条边e连接了两个连通块，它不会被加入到T中去，但其连接两个连通块的代价却是当前选择中最小的。我们设G为图的原始集合，S为Kruskal算法依次选取的边，且S不包含e边。
因为原来的连通块只有与e相连时才能形成一颗生成树，所以e必然是在其它边连接两个连通块之前先被连接的；
此时，由于e所连接的两个连通块是最小生成树的两个不同连通块，根据生成树的定义，必然存在当前最小的边连接了这两个连通块。但是，这条连通两个块的边不可能是e，因为若这条边为e，则e的两个端点就会被合并成一个连通块，e不会被忽略。这与我们的假设相矛盾。所以Kruskal算法可以得到最小生成树。

证明2：Kruskal算法的时间复杂度为O(elog2e)
根据Kruskal算法的实现，它首先将所有的边按照边权从小到大进行排序，然后依次加入到生成树中，同时用并查集维护选中的边所连接的两个连通块。加入一条边的复杂度为O(1)，因为它只需要查找两个连通块所在的集合，然后将它们合并即可。由于Kruskal算法需要加入e-1条边才能得到一颗生成树，而在并查集中查找和合并两个集合的时间复杂度为O(log2e)，因此Kruskal算法的总时间复杂度为O(elog2e)。

相关问题

kruskal算法求最小生成树

Kruskal算法是一种贪心算法，用于求解最小生成树问题。其基本思想是将所有边按照权值从小到大排序，然后依次加入到生成树中，如果加入该边不会形成环，则将该边加入生成树中，否则舍弃该边。直到生成树中有n-1条边为止，其中n为图中节点的个数。

以下是Kruskal算法求解最小生成树的Python代码示例：

# 定义边的类
class Edge:
    def __init__(self, u, v, w):
        self.u = u
        self.v = v
        self.w = w

# 定义并查集类
class UnionFind:
    def __init__(self, n):
        self.parent = list(range(n))
        self.count = n

    def find(self, x):
        if self.parent[x] != x:
            self.parent[x] = self.find(self.parent[x])
        return self.parent[x]

    def union(self, x, y):
        root_x = self.find(x)
        root_y = self.find(y)
        if root_x != root_y:
            self.parent[root_x] = root_y
            self.count -= 1

# 定义Kruskal算法函数
def kruskal(n, edges):
    uf = UnionFind(n)
    edges.sort(key=lambda x: x.w)
    res = []
    for e in edges:
        if uf.count == 1:
            break
        if uf.find(e.u) != uf.find(e.v):
            uf.union(e.u, e.v)
            res.append(e)
    return res

# 示例
edges = [Edge(0, 1, 4), Edge(0, 2, 3), Edge(1, 2, 1), Edge(1, 3, 2), Edge(2, 3, 5)]
res = kruskal(4, edges)
for e in res:
    print(e.u, e.v, e.w)

输出结果为：

1 2 1
1 3 2
0 2 3

Kruskal算法求最小生成树

Kruskal算法是一种求解无向图最小生成树的贪心算法，其主要思想是从图中选择权值最小的边，将其加入到最小生成树中。具体实现过程如下：

1. 将图中所有的边按照权值从小到大排序。

2. 从权值最小的边开始，依次考虑每一条边，如果这条边的加入不会形成环路，则将其加入最小生成树中。

3. 重复第2步，直到最小生成树中有n-1条边（n为节点数量）。

Kruskal算法的时间复杂度为O(mlogm)，其中m为图中边的数量，因此Kruskal算法是求解稀疏图最小生成树的最优算法。另外，Kruskal算法还可以用来判断图是否为一棵树，只需要判断最终生成的最小生成树中边的数量是否为n-1即可。