Fano的出现、推导、原理介绍。
时间: 2023-11-29 14:04:32 浏览: 73
Fano是指一种特殊的共振现象,它最初由意大利物理学家乔托·法诺(Joachim U. N. Fano)在1961年提出。Fano共振是指,在一个复合体系中,离散态与连续态之间的相互作用会导致共振峰的出现,并且共振峰两侧会呈现倒U型的线形谱线。Fano共振在物理学、化学、光学、声学、电子学等领域都有广泛的应用。
Fano共振的推导可以从一个复合体系的能量本征值和本征态出发。假设一个系统由一个离散态和一个连续态组成,离散态的能量为$E_0$,连续态的能量为$E$。系统的总能量为$E_{tot}=E+E_0$。离散态可以通过一个耦合系数$q$与连续态相互作用。系统的哈密顿量可以表示为:
$H=\sum_{E_n<E_0}E_n|n><n|+E_0|0><0|+\int_{E_n>E_0}E|k><k|dk+\sum_{k}|k><k|\sum_{n}q_{nk}|n><0|+h.c.$
其中,$|n>$和$|0>$分别表示离散态和连续态的波函数,$|k>$表示连续态的波函数,$q_{nk}$为耦合系数。为了求出系统的能量本征值和本征态,可以将哈密顿量表示为一个矩阵。在矩阵表示下,哈密顿量可以表示为:
$\left(
\begin{array}{cc}
E_0 & 0 \\
0 & H_c(E) \\
\end{array}
\right)+
\left(
\begin{array}{cc}
0 & q \\
q^* & 0 \\
\end{array}
\right)$
其中,$H_c(E)$是连续态的哈密顿量,$q$是一个列向量,它的元素是$q_{nk}$。假设连续态是非简并的(即不存在多个连续态具有相同的能量),那么连续态的哈密顿量可以表示为:
$H_c(E) = \int_{E_n>E_0}(E-E_n)|k><k|dk$
这样,系统的能量本征值为:
$E=\frac{E_0+\int_{E_n>E_0}(E-E_n)|k><k|dk}{1-|q|^2}$
能量本征态可以表示为:
$|\psi>=\frac{1}{\sqrt{1+|q|^2}}\left(|0>+\sum_{E_n<E_0}\frac{q_{nk}}{E_n-E+i\eta}|n>\right)$
其中,$\eta$是一个小的正数,用于消除积分奇点。从上述推导可以看出,Fano共振的出现是由离散态和连续态之间的相对耦合强度所决定的。
Fano共振的原理可以用干涉的概念来解释。当离散态和连续态通过耦合强度相互作用时,离散态将会影响连续态的传播,从而导致干涉和反干涉的现象。当耦合强度比较弱时,离散态的影响可以被忽略,此时连续态的能量本征值呈现连续谱线。当耦合强度比较强时,离散态的影响就不能被忽略了,此时连续态的能量本征值呈现倒U型线形谱线,这就是Fano共振的特征。
总之,Fano共振是一种重要的量子干涉现象,它的产生和形状受到连续态和离散态之间的相对耦合强度的影响。Fano共振在物理学、化学、光学、声学、电子学等领域都有广泛的应用。
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