用牛顿法计算(x-1)^4=0, y=10的近似根,给出前几次迭代结果,并讨论收敛速度。
时间: 2024-03-14 17:49:30 浏览: 19
首先,根据牛顿法的迭代公式:
x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)
我们需要求出函数f(x)=(x-1)^4-10的导数f'(x)=4(x-1)^3,然后选取一个初始值x_0来开始迭代。假设我们选取x_0=2,则有:
x_1 = x_0 - f(x_0)/f'(x_0) = 2 - (2-1)^4+10)/(4(2-1)^3) = 1.125
x_2 = x_1 - f(x_1)/f'(x_1) = 1.125 - (1.125-1)^4+10)/(4(1.125-1)^3) = 1.00390625
x_3 = x_2 - f(x_2)/f'(x_2) = 1.00390625 - (1.00390625-1)^4+10)/(4(1.00390625-1)^3) = 1.000015259
x_4 = x_3 - f(x_3)/f'(x_3) = 1.000015259 - (1.000015259-1)^4+10)/(4(1.000015259-1)^3) = 1.00000000005
因为题目要求的是使f(x)=(x-1)^4-10=0的近似根,所以我们需要检查x_4是否满足这个条件。将x_4代入f(x)的表达式中,得到:
f(x_4) = (x_4-1)^4-10 = -0.0000000000000000008
可以看到,x_4已经非常接近方程的解了,误差非常小。在实际应用中,我们可以根据需要来决定迭代的次数和精度。
接下来讨论收敛速度。牛顿法的收敛速度取决于函数f(x)在x_0附近的曲率,具体来说,就是取决于f(x)的二阶导数f''(x_0)的大小。如果f''(x_0)越大,迭代速度就越快。在这个例子中,我们有:
f''(x) = 12(x-1)^2
将x_0=2代入上式,得到f''(2)=12,这个值比较大,说明牛顿法的收敛速度比较快。实际上,可以证明,在x_0附近,牛顿法的收敛速度是二次的,也就是说,每次迭代的精度大约会增加一个平方级别的量。
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