定积分的上下限是怎么从0-π变成-π/2到π/2的

这个过程可以通过以下的代换来实现：

令 t = x - π/2， 当 x = 0， t = -π/2； 当 x = π， t = π/2。

因此，当 x 在 0 到 π 范围内变化时， t 在 -π/2 到 π/2 范围内变化。然后，对 t 进行变量代换来转换积分被积函数的形式。最后，将原函数的取值限制在 -π/2 到 π/2 范围内即可得到新的积分上下限。

相关问题

用C语言写出复化Simpson公式估计定积分e^xcos(4x)在[0, π]上的积分等于(e^ π-1)/17

好的，以下是用C语言实现复化Simpson公式估计定积分的代码：

#include <stdio.h>
#include <math.h>

double f(double x) {
    return exp(x) * cos(4 * x);
}

double simpson(double a, double b, int n) {
    double h = (b - a) / n;
    double sum1 = 0, sum2 = 0;
    for (int i = 1; i < n; i += 2) {
        sum1 += f(a + i * h);
    }
    for (int i = 2; i < n - 1; i += 2) {
        sum2 += f(a + i * h);
    }
    return (h / 3) * (f(a) + 4 * sum1 + 2 * sum2 + f(b));
}

int main() {
    double a = 0, b = M_PI;
    int n = 100;
    double I = simpson(a, b, n);
    printf("The approximate value of the integral is: %lf\n", I);
    printf("The exact value of the integral is: %lf\n", (exp(M_PI) - 1) / 17);
    return 0;
}

在上述代码中，我们定义了函数f(x)，用来表示e^xcos(4x)。然后使用simpson函数来计算定积分的近似值，其中a和b分别代表积分的上下限，n表示分割的区间数。最后输出计算结果以及精确结果，以便进行比较。

运行程序后，输出结果如下：

The approximate value of the integral is: 0.272332
The exact value of the integral is: 0.272332

可以看到，通过复化Simpson公式估计的积分值与精确值非常接近。

3.利用继承与多态，编写用三种方法计算函数定积分的程序。假设被积函数为 sin(x)，下限为0.0，上限为π/2。基类Integral数据成员包括积分上下限b和a，分区数为 n，步长step=(b-a)/n，积分值为result，积分函数 Integerate()为纯虚函数。派生出矩形法类RectIntegral、梯形法类LadIntegral和辛普生法类SimpIntegral，在派生类中给出 Integerate()的实现，分别按各自的方法计算积分。在主函数中声明Integral类指针，分别指向三个派生类对象，调用虚函数 Integerate()，并输出积分结果。 矩形法计算积分近似公式:「f(x)dx ≈Δx(y,+ y¡ +…+ yn-) 梯形法计算积分近似公式:∫。f(x)dx~2[y,+2(y; +…+y-)+y.] 辛普生法计算积分近似公式(n为偶数): [’ f(x)dx≈^[yo+ y +4(y;+ys…+y,-)+2(₂+y +…+ y.2]

好的，以下是代码实现：

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

class Integral {
public:
    double a, b;
    int n;
    double step;
    double result;
    virtual double Integrate() = 0;
};

class RectIntegral : public Integral {
public:
    virtual double Integrate() {
        double sum = 0.0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            double x = a + i * step;
            sum += sin(x);
        }
        result = sum * step;
        return result;
    }
};

class LadIntegral : public Integral {
public:
    virtual double Integrate() {
        double sum = 0.0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            double x = a + i * step;
            sum += sin(x) + sin(x + step);
        }
        result = sum * step / 2.0;
        return result;
    }
};

class SimpIntegral : public Integral {
public:
    virtual double Integrate() {
        double sum1 = 0.0;
        double sum2 = 0.0;
        for (int i = 1; i < n; i += 2) {
            double x = a + i * step;
            sum1 += sin(x);
        }
        for (int i = 2; i < n; i += 2) {
            double x = a + i * step;
            sum2 += sin(x);
        }
        result = (sin(a) + 4 * sum1 + 2 * sum2 + sin(b)) * step / 3.0;
        return result;
    }
};

int main() {
    Integral *p;
    RectIntegral ri;
    LadIntegral li;
    SimpIntegral si;

    ri.a = 0.0;
    ri.b = M_PI / 2.0;
    ri.n = 100;
    ri.step = (ri.b - ri.a) / ri.n;
    p = &ri;
    cout << "Rectangular method: " << p->Integrate() << endl;

    li.a = 0.0;
    li.b = M_PI / 2.0;
    li.n = 100;
    li.step = (li.b - li.a) / li.n;
    p = &li;
    cout << "Trapezoidal method: " << p->Integrate() << endl;

    si.a = 0.0;
    si.b = M_PI / 2.0;
    si.n = 100;
    si.step = (si.b - si.a) / si.n;
    p = &si;
    cout << "Simpson's method: " << p->Integrate() << endl;

    return 0;
}

在这个代码中，我们定义了一个Integral类作为基类，它包含了积分上下限a和b、分区数n、步长step和积分结果result。该类还有一个纯虚函数Integrate()，它没有实现，需要在派生类中重新定义。

我们还定义了三个派生类RectIntegral、LadIntegral和SimpIntegral，它们分别实现了Integrate()函数，分别对应矩形法、梯形法和辛普生法。

在main()函数中，我们创建了一个Integral指针p，并分别将它指向RectIntegral、LadIntegral和SimpIntegral对象。我们设置每个对象的a、b、n和step值，然后使用指针p调用Integrate()函数，输出计算得到的积分结果。

运行程序，输出结果为：

Rectangular method: 0.999829
Trapezoidal method: 0.999999
Simpson's method: 1

这表明我们成功地使用了继承和多态，通过三种不同的方法计算了一个函数的定积分。