动态规划2最优二叉搜索树
时间: 2023-11-18 19:56:27 浏览: 57
最优二叉搜索树问题是指在一棵二叉搜索树中查找某个节点的期望代价最小。其中,期望代价是指查找某个节点所需的平均搜索次数。这个问题可以使用动态规划来解决。具体来说,我们可以定义一个二维数组dp[i][j]表示从i到j的节点构成的子树中的最小期望代价。然后,我们可以通过枚举根节点来递归地计算dp[i][j]。最后,整棵树的最小期望代价就是dp[n],其中n是节点总数。
在计算dp[i][j]时,我们可以枚举k作为根节点,然后将子树分为左子树和右子树。假设左子树的节点范围是[i,k-1],右子树的节点范围是[k+1,j],那么dp[i][j]可以通过以下公式计算得到:
dp[i][j] = min(dp[i][k-1] + dp[k+1][j]) + sum[i][j]
其中,sum[i][j]表示从i到j的节点的概率之和。这个公式的意义是,我们先假设k是根节点,然后计算左子树和右子树的最小期望代价,再加上根节点的代价和。最后,我们枚举所有可能的根节点,选择最小的那个作为dp[i][j]的值。
需要注意的是,我们需要先计算出所有长度为1的子树的最小期望代价,然后再逐步计算出长度为2、3、4……n的子树的最小期望代价。这样才能保证每一层的计算都是基于上一层的最优解的。
相关问题
C语言动态规划解决最优二叉搜索树
的实现代码是什么?
以下是C语言动态规划解决最优二叉搜索树的实现代码:
```
#include <stdio.h>
#include <limits.h>
int sum(int freq[], int i, int j);
int optimalSearchTree(int keys[], int freq[], int n)
{
int cost[n + 1][n + 1];
for (int i = 1; i <= n; i++)
cost[i][i] = freq[i];
for (int L = 2; L <= n; L++) {
for (int i = 1; i <= n - L + 1; i++) {
int j = i + L - 1;
cost[i][j] = INT_MAX;
for (int k = i; k <= j; k++) {
int temp = cost[i][k - 1] + cost[k + 1][j] + sum(freq, i, j);
if (temp < cost[i][j])
cost[i][j] = temp;
}
}
}
return cost[1][n];
}
int sum(int freq[], int i, int j)
{
int s = 0;
for (int k = i; k <= j; k++)
s += freq[k];
return s;
}
int main()
{
int keys[] = {10, 12, 20};
int freq[] = {34, 8, 50};
int n = sizeof(keys) / sizeof(keys[0]);
printf("Cost of Optimal BST is %d", optimalSearchTree(keys, freq, n));
return 0;
}
```
这段代码实现了动态规划解决最优二叉搜索树的算法。其中,keys[]表示二叉搜索树中每个节点的键值,freq[]表示每个键值出现的次数,n表示节点数。代码中,先初始化cost[i][i]为freq[i],然后枚举节点数L和起始节点i,实现了二叉搜索树的动态规划过程,最终返回cost[1][n]作为最优二叉搜索树的代价。
动态规划最优二叉搜索树算法
动态规划最优二叉搜索树算法的基本思想是利用最优子结构来求解问题。首先定义e[i,j]为包含关键字k[i,...,j]的最优二叉搜索树的期望搜索代价,e[1,n]为问题的最终解。算法的过程可以分为以下几个步骤:
1. 初始化:对于每个关键字k[i],将e[i,i-1]和w[i,i-1]初始化为d[i-1]和d[i-1]的值,其中w[i,i-1]表示权重。
2. 计算子问题:对于每个子问题的长度l(从2到n),计算e[i,j]和w[i,j]的值。其中e[i,j]表示包含关键字k[i,...,j]的最优二叉搜索树的期望搜索代价,w[i,j]表示子树的权重。
3. 填表:根据最优子结构的性质,逐步填充e[i,j]和w[i,j]的值。
4. 寻找根节点:根据填表得到的e和w数组,可以找到最优二叉搜索树的根节点。
5. 构建最优二叉搜索树:根据根节点,递归地构建最优二叉搜索树。
以上就是动态规划最优二叉搜索树算法的基本步骤。通过这个算法,我们可以找到包含给定概率集合的期望搜索代价最小的二叉搜索树。