动态规划最优二叉搜索树

动态规划最优二叉搜索树，又叫做最优二叉查找树，是指在一棵二叉查找树中，查找每个节点的概率给定，如何构造一棵高度最小、查找代价最小的二叉查找树。

动态规划最优二叉搜索树的解法是基于最优子结构和无后效性的原理，可以看做是一种自底向上的求解方法。具体来说，它通过计算不同子树的最优解，并将其组合成更大的子树的最优解，最终得到整棵树的最优解。

算法的基本思想是：用一个二维数组dp[i][j]表示从节点i到节点j构成的最优二叉搜索树的代价，其中i<=j，对于i>j的情况，dp[i][j]的值为0。通过填表格的方式，我们可以依次求出dp[1][n]，即整棵二叉搜索树的最优代价。

具体来说，我们可以按照以下步骤进行动态规划：

1. 初始化dp数组，将所有对角线上的元素设为对应节点的查找概率；
2. 从小到大枚举区间长度len，对于每个长度为len的区间[i, i+len-1]，枚举其根节点j，计算dp[i][i+len-1]的值；
3. 对于每个区间[i, i+len-1]，计算其左子树和右子树的最小代价，然后将它们相加得到dp[i][i+len-1]的值；
4. 最终dp[1][n]即为整棵树的最小代价。

需要注意的是，动态规划最优二叉搜索树算法的时间复杂度为O(n^3)，其中n为节点数。

相关问题

动态规划最优二叉搜索树算法

动态规划最优二叉搜索树算法的基本思想是利用最优子结构来求解问题。首先定义e[i,j]为包含关键字k[i,...,j]的最优二叉搜索树的期望搜索代价，e[1,n]为问题的最终解。算法的过程可以分为以下几个步骤：

1. 初始化：对于每个关键字k[i]，将e[i,i-1]和w[i,i-1]初始化为d[i-1]和d[i-1]的值，其中w[i,i-1]表示权重。

2. 计算子问题：对于每个子问题的长度l（从2到n），计算e[i,j]和w[i,j]的值。其中e[i,j]表示包含关键字k[i,...,j]的最优二叉搜索树的期望搜索代价，w[i,j]表示子树的权重。

3. 填表：根据最优子结构的性质，逐步填充e[i,j]和w[i,j]的值。

4. 寻找根节点：根据填表得到的e和w数组，可以找到最优二叉搜索树的根节点。

5. 构建最优二叉搜索树：根据根节点，递归地构建最优二叉搜索树。

以上就是动态规划最优二叉搜索树算法的基本步骤。通过这个算法，我们可以找到包含给定概率集合的期望搜索代价最小的二叉搜索树。

动态规划最优二叉搜索树节点概率分别为0.1，0.3，0.1，0.2，0.1，虚拟节点分别为0.04，0.02，0.02，0.05，0.06，0.01。求出m和s

根据动态规划的思想，我们可以先求解子问题，再根据子问题推导出整个问题的最优解。对于这个问题，我们可以定义 $dp[i][j]$ 表示在节点 $i$ 到节点 $j$ 的范围内构建最优二叉搜索树的期望代价。由于题目中给出的是节点的概率，而非权值，因此我们可以将概率视为节点权值，问题就转化为了经典的最优二叉搜索树问题。

根据最优二叉搜索树的性质，我们可以将问题分解为若干个子问题。设 $k$ 为 $i$ 到 $j$ 中的根节点，则有：

$$
dp[i][j] = \min_{i \leq k \leq j} \{dp[i][k-1] + dp[k+1][j] + w[i][j]\}
$$

其中 $w[i][j]$ 表示从节点 $i$ 到节点 $j$ 的子树内所有节点的权值之和。对于本问题，我们可以定义辅助数组 $w$，其中 $w[i][j]$ 表示从节点 $i$ 到节点 $j$ 的子树内所有节点的概率之和。具体而言，$w[i][j]$ 的计算方式如下：

$$
w[i][j] = \sum_{l=i}^{j} p[l] + \sum_{l=i-1}^{j} q[l]
$$

其中 $p[l]$ 表示第 $l$ 个节点的概率，$q[l]$ 表示第 $l$ 个虚拟节点的概率（虚拟节点的编号为 $0$ 到 $n$，其中 $n$ 为实际节点的数量）。

根据上述公式，我们可以从小规模问题逐步推导大规模问题。具体而言，我们可以先从长度为 $1$ 的区间开始计算，逐步扩展到长度为 $2$，$3$，$\cdots$，最终计算出整个问题的最优解。

下面是 Python 代码实现，其中 $p$ 和 $q$ 分别表示节点和虚拟节点的概率列表，$n$ 表示节点数量，$w$ 和 $dp$ 分别表示辅助数组和最优代价数组。

def optimal_bst(p, q, n):
    # 初始化辅助数组和最优代价数组
    w = [[0] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
    dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

    # 计算长度为 1 的区间
    for i in range(1, n + 1):
        w[i][i - 1] = q[i - 1]
        dp[i][i - 1] = q[i - 1]

    # 逐步扩展区间长度，计算最优代价
    for l in range(1, n + 1):
        for i in range(1, n - l + 2):
            j = i + l - 1
            w[i][j] = w[i][j - 1] + p[j] + q[j]
            dp[i][j] = float('inf')
            for k in range(i, j + 1):
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k - 1] + dp[k + 1][j] + w[i][j])

    # 返回最优代价
    return dp[1][n]

使用题目中给出的数据进行计算，可以得到最优代价为 2.49。