二维Newton cotes公式推导

二维Newton-Cotes公式是一种数值积分方法，用于计算二维函数的积分。它是通过对二维积分区域进行均匀剖分，然后在每个小矩形上应用一维Newton-Cotes公式得到的。

假设要计算的二维函数为$f(x,y)$，积分区域为$[a,b] \times [c,d]$，将其均匀剖分为$m$个小矩形，每个小矩形的宽度为$h=\frac{b-a}{m}$，高度为$k=\frac{d-c}{n}$。则有：

$$\iint_{[a,b]\times[c,d]}f(x,y)dxdy \approx \sum_{i=0}^{m-1}\sum_{j=0}^{n-1}\int_{x_i}^{x_{i+1}}\int_{y_j}^{y_{j+1}}f(x,y)dxdy$$

其中，$x_i=a+ih$，$y_j=c+jk$。

我们可以在每个小矩形上应用一维Newton-Cotes公式，得到二维Newton-Cotes公式：

$$\iint_{[a,b]\times[c,d]}f(x,y)dxdy \approx \sum_{i=0}^{m-1}\sum_{j=0}^{n-1}\int_{x_i}^{x_{i+1}}\int_{y_j}^{y_{j+1}}f(x,y)dxdy \approx \sum_{i=0}^{m-1}\sum_{j=0}^{n-1}w_{m,i}w_{n,j}\sum_{k=0}^{m}\sum_{l=0}^{n}f(x_i+kh,y_j+lk)$$

其中，$w_{m,i}$和$w_{n,j}$是一维Newton-Cotes公式中对应的权重。

具体而言，二维Newton-Cotes公式可以按照以下方式计算：

1. 设定剖分参数$m$和$n$，计算小矩形的宽度$h$和高度$k$；
2. 计算一维Newton-Cotes公式中对应的权重$w_{m,i}$和$w_{n,j}$；
3. 对每个小矩形，按照一维Newton-Cotes公式的方式计算其积分值，并将所有小矩形的积分值求和，得到最终的二维积分值。

需要注意的是，二维Newton-Cotes公式的精度与剖分参数$m$和$n$有关，一般来说，增加$m$和$n$可以提高精度，但会增加计算量。因此，在实际应用中需要根据具体情况进行权衡。